"슈르 다항식(Schur polynomial)"의 두 판 사이의 차이

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* [[반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)]]
 
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*  슈르다항식은 다음과 같이 정의된다<br><math>s_{\lambda} = \frac{a_{\lambda+\rho}}{a_{\rho}}</math><br>
 
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*  변수의 개수가 3이고, 4의 분할인 경우의 슈르 다항식<br><math>\left( \begin{array}{cc}  \{4\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+\left(x_1^3+x_1^2 x_2+x_1 x_2^2+x_2^3\right) x_3+\left(x_1^2+x_1 x_2+x_2^2\right) x_3^2+\left(x_1+x_2\right) x_3^3+x_3^4 \\  \{3,1\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\  \{2,2\} & x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2 \\  \{2,1,1\} & x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2 \\  \{1,1,1,1\} & 0 \end{array} \right)</math><br>
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<h5>관련된 항목들</h5>
 
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<h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYWE1NTJlYzktMTk5Mi00YWUyLWE2M2YtMTdhNmIwOTc0NmY3&sort=name&layout=list&num=50
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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* http://functions.wolfram.com/
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
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* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
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* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
  
 
 
 
 

2012년 2월 1일 (수) 08:51 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • 변수의 개수 n과 d의 분할(partition)이 \(\lambda\)가 주어지면 d차 다항식 \( s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)\) 이 결정된다
  • 다음과 같은 두 개의 d의 분할을 생각하자
    • \(\rho : n-1,n-2,\cdots, 0\)
    • \(\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\)
  • \(a_{\lambda+\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})\)
  • \(a_{\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{n-j})\)
  • 반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)
  • 슈르다항식은 다음과 같이 정의된다
    \(s_{\lambda} = \frac{a_{\lambda+\rho}}{a_{\rho}}\)

 

 

예
  • 변수의 개수가 3이고, 4의 분할인 경우의 슈르 다항식
    \(\left( \begin{array}{cc} \{4\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+\left(x_1^3+x_1^2 x_2+x_1 x_2^2+x_2^3\right) x_3+\left(x_1^2+x_1 x_2+x_2^2\right) x_3^2+\left(x_1+x_2\right) x_3^3+x_3^4 \\ \{3,1\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\ \{2,2\} & x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2 \\ \{2,1,1\} & x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \end{array} \right)\)

 

 

 

영 태블로

\(s_\lambda(x_1,\ldots,x_n) = \sum_T w(T)\)

여기서 sum is over all semistandard Young tableaux T of shape λ

 

 

The first Giambelli formula (Jacobi-Trudy 항등식)
  • explicit expression of Schur polynomials as a polynomial in the complete homogeneous symmetric polynomials:
  • \(s_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})\)

 

 

역사

 

 

 

메모

\(s_{\lambda} =\sum_{w\in S_{r} } \epsilon(w) h_{\lambda+\rho - w.\lambda}\)

 

 

관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

수학용어번역

 

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

관련논문

 

 

관련도서
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