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<h5>제2종 스털링 수</h5>
 
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* k개 원소를 갖는 집합을 n개의 블록으로 분할하는 방법의 수
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* k개 원소를 갖는 집합을 n개의 블록으로 분할하는 방법의 수 <math>S(n,k)</math>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">벨 수열 (Bell number)과의 관계</h5>
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http://en.wikipedia.org/wiki/Bell_number
  
 
B(n)=\sum_{k}S(n,k)
 
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2011년 2월 5일 (토) 13:28 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

\(s(n,k)\) 제1종 스털링 수

 

\((x)_{k}=\sum_{j}s(k,j)x^{j}\)

 

\(S(n,k)\) 제2종 스털링 수

\(x^{k}=\sum_{j}S(k,j)(x)_j\)

 

 

제1종 스털링 수
  • 정의
    \((x)_{k}=\sum_{j}s(k,j)x^{j}\)

\((x)_3=x(x-1)(x-2)=2x-3x^2+x^3\)

s(3,0)=0, s(3,1)=2,s(3,2)=-3,s(3,3)=1

 

 

제2종 스털링 수
  • k개 원소를 갖는 집합을 n개의 블록으로 분할하는 방법의 수 \(S(n,k)\)
  • 제2종 스털링 수

 

\(x^{k}=\sum_{j}S(k,j)(x)_j\)

예)

x^3 = (x)_1+3(x)_2+(x)_3=x+2x(x-1)+3x(x-1)(x-2)

생성함수

\(\sum_{k}S(k,n)x^k=\frac{x^n}{(1-x)(1-2x)\cdots(1-nx)}\)

지수생성함수

\(\sum_{k}\frac{S(k,n)}{k!}x^k=\frac{(e^x-1)^{n}}{n!}\)

 

 

벨 수열 (Bell number)과의 관계

http://en.wikipedia.org/wiki/Bell_number

B(n)=\sum_{k}S(n,k)

\{1,2,\cdots,n\} 의 분할의 개수

 

 

 

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