슬레이터 14

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• 슬레이터 14

 

 

개요

• 로저스-라마누잔 항등식 의 하나
  \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n(n+1)}}{ (q)_{n}}=\frac{(q^{1};q^{5})_{\infty}(q^{4};q^{5})_{\infty}(q^{5};q^{5})_{\infty}}{(q)_{\infty}}=\frac{1}{(q^{2};q^{5})_{\infty}(q^{3};q^{5})_{\infty}}\)
  

 

 

항등식의 분류

• 슬레이터 목록 (Slater's list)
• B(2)
  

 

 

켤레 베일리 쌍의 유도

• q-가우스 합 에서 얻어진 다음 결과를 이용
  \(\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\),  \(\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\)
  \(\gamma_{n}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{r+2n}(q)_{r}}\)
  
• 다음의 특수한 경우
   \(x=q,y\to\infty, z\to\infty\).
  
•  
  얻어진 켤레 베일리 쌍 (relative to 1)
  \(\delta_n=q^{n^2}\)
  \(\gamma_n=\frac{q^{n^2}}{(q)_{\infty}}\)
  

 

 

베일리 쌍의 유도

• 다음을 이용
  \(\sum_{r=0}^{n}\frac{(1-aq^{2r})(-1)^{r}q^{\frac{1}{2}(r^2+r)}(a)_{r}(c)_{r}(d)_{r}a^{r}}{(a)_{n+r+1}(q)_{n-r}(q)_{r}(aq/c)_{r}(aq/d)_{r}c^{r}d^{r}}=\frac{(aq/cd)_{n}}{(q)_{n}(aq/c)_{n}(aq/d)_{n}}\)
  
• 다음의 특수한 경우
  \(a=q,c=-q,d=\infty\)
  
•  
  얻어진 베일리 쌍 (relative to 1)
  \(\alpha_{0}=1\), \(\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2}(q^{\frac{1}{2}n}+q^{-\frac{1}{2}n})\)
  \(\beta_n=\frac{1}{(q)_{n}}\)
  \(\beta_n=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(x)_{n-r}(q)_{n+r}}=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(q^{2})_{n-r}(q)_{n+r}}=\frac{1}{(q)_{n}(-q)_{n}}\)
  

•  

 

• \(\alpha_{0}=1\), \(\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2}(q^{\frac{3}{2}n}+q^{-\frac{3}{2}n})\)
  \(\beta_n=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(x)_{n-r}(q)_{n+r}}=\frac{q^n}{(q)_{n}}\)
  
• B(3)
  \(\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\),  \(\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\)
  Take \(x=q^2,y\to\infty, z\to\infty\).
  \(\alpha_{0}=1\), \(\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2+\frac{1}{2}n}\frac{(1-q^{2n +1})}{(1-q)}\)
  \(\beta_n=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(x)_{n-r}(q)_{n+r}}\)