"약수의 합과 오일러 토션트"의 두 판 사이의 차이

2012년 6월 20일 (수) 14:47 판

자연수의 약수의 합
자연수 \(n\)에 대하여, 1부터 n까지의 양의 정수 중에 \(n\)의 약수인 수의 합을 \(\sigma(n)\) 으로 나타냄
\(\sigma(n)=\sum_{d|n}d\)
오일러의 totient 함수
1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수의 개수를 \(\varphi(n)\) 으로 둠

\(n=p_1 ^{\alpha _1} p_2 ^{\alpha _2} ... p_k ^{\alpha _k}\) 인 경우
\(\varphi (n) = p_1 ^{\alpha _1 - 1} p_2 ^{\alpha _2 - 1} ... p_k ^{\alpha _k - 1} (p_1 - 1)(p_2 - 1) .. (p_k - 1) \)
\(\sigma(n) = \frac{p_{1}^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\cdots \frac{p_{k}^{\alpha_2+1}-1}{p_k-1}\)

n 을 나누는 소수가 하나인 경우, 즉 k=1 인 경우

\(n=p_1 ^{\alpha _1}\)

\(\varphi (n) = p_1 ^{\alpha _1 - 1}(p_1 - 1)\)

\(\sigma(n) = \frac{p_{1}^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\)

\(\frac{\sigma(n)+\varphi(n)}{n}=\frac{2(1-p_1)}{1-p_1}+\frac{-p_1^{-1}+p_1^{-k_1}}{1-p_1}}\)

다음과 같은 부등식을 이용할 수 있다.

\(x_n,y_n>0\) 이고, \(k\geq 2\) 인 자연수일 때,

\(\prod _{n=1}^k \left(x_n-y_n\right)+\prod _{n=1}^k \left(x_n+y_n\right)>2\prod _{n=1}^k x_n\)

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 * <math>\varphi (n) = p_1 ^{\alpha _1 - 1} p_2 ^{\alpha _2 - 1} ... p_k ^{\alpha _k - 1} (p_1 - 1)(p_2 - 1) .. (p_k - 1) </math>
 * <math>\sigma(n) = \frac{p_{1}^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\cdots \frac{p_{k}^{\alpha_2+1}-1}{p_k-1}</math>
+n 을 나누는 소수가 하나인 경우, 즉 k=1 인 경우
+<math>n=p_1 ^{\alpha _1}</math>
+<math>\varphi (n) = p_1 ^{\alpha _1 - 1}(p_1 - 1)</math>
+<math>\sigma(n) = \frac{p_{1}^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}</math>
+<math>\frac{\sigma(n)+\varphi(n)}{n}=\frac{2(1-p_1)}{1-p_1}+\frac{-p_1^{-1}+p_1^{-k_1}}{1-p_1}}</math>
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 다음과 같은 부등식을 이용할 수 있다.
+<math>x_n,y_n>0</math> 이고, <math>k\geq 2</math> 인 자연수일 때,
 <math>\prod _{n=1}^k \left(x_n-y_n\right)+\prod _{n=1}^k \left(x_n+y_n\right)>2\prod _{n=1}^k x_n</math>