"양자 조화진동자"의 두 판 사이의 차이

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<h5>슈뢰딩거 방정식</h5>
 
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* [[슈뢰딩거 방정식]]<br><math>E \psi = -\frac{\hbar^2}{2m}{\partial^2 \psi \over \partial x^2} + V(x)\psi</math><br><math>V(x)=\frac{k}{2}x^2=\frac{1}{2}m \omega^2x^2</math><br>
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* [[슈뢰딩거 방정식]]
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*  위치에너지가 t에 의존하지 않으므로 time independent equation 을 다음과 같이 쓸 수 있다<br><math>E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2m}{\partial^2 \psi_{E} \over \partial x^2} + V(x)\psi_{E}</math><br><math>V(x)=\frac{k}{2}x^2=\frac{1}{2}m \omega^2x^2</math><br>
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* energy eigenstate의 파동함수는 <math>\psi(t,x)=e^{-iEt/\hbar}\psi_{E}(x)</math> 형태로 쓸 수 있다
 
* http://www.colby.edu/chemistry/PChem/notes/Hermite.pdf
 
* http://www.colby.edu/chemistry/PChem/notes/Hermite.pdf
 
* http://www.fisica.net/quantica/quantum_harmonic_oscillator_lecture.pdf
 
* http://www.fisica.net/quantica/quantum_harmonic_oscillator_lecture.pdf
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNjZjM2RkNjktODdiMS00YjEwLWJlNTAtNzVmNjk0ZTU0Mjdi&sort=name&layout=list&num=50
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNjZjM2RkNjktODdiMS00YjEwLWJlNTAtNzVmNjk0ZTU0Mjdi&sort=name&layout=list&num=50
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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* http://demonstrations.wolfram.com/QuantizedSolutionsOfThe1DSchroedingerEquationForAHarmonicOsc/
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* http://functions.wolfram.com/
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
 
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
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* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
 
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* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
 
  
 
 
 
 

2012년 2월 17일 (금) 13:58 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

 

고전 역학에서의 조화진동자
  • 질량 m, frequency \(\omega\) 인 조화진동자
  • 해밀토니안
    \(H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}q^2\)
  • 해밀턴 방정식
    \(\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\)
    \(\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q\)
  • 운동방정식
    \(\ddot{x}=-\omega^{2} x\) 즉 \(\ddot{x}+\omega^{2} x=0\)

 

 

양자조화진동자
  • 위치 연산자와 운동량 연산자
    \([\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar\)
    \(\hat p = - i \hbar {\partial \over \partial x}\)
  • 해밀토니안
    \(\hat H(\hat p,\hat x) = \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2=- \frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2\)
    \(\hat H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)=\hbar \omega \left(a a^{\dagger }-\frac{1}{2}\right)\)
  • 사다리 연산자(ladder operator)
    \(a =\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\hat x + {i \over m \omega} \hat p \right)\)
    \(a^{\dagger} =\sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( \hat x - {i \over m \omega} \hat p \right)\)
  • Commutation relation
    \(\left[a , a^{\dagger} \right] = 1\)
    \(\left[ H, a \right]= - \hbar \omega a\)
    \(\left[ H, a^\dagger \right] = \hbar \omega a^\dagger\)

 

 

슈뢰딩거 방정식

 

 

energy  eigenstates
  • Assume that Planck’s constant equals 1
  • a harmonic oscillator that vibrates with frequency \(\omega\) can have energy \(\frac{\omega}{2}, (1 +\frac{1}{2})\omega, (2 +\frac{1}{2})\omega,(3 +\frac{1}{2})\omega,\cdots\)
  •  ground state energy of the oscillator
    • lowest energy state
    • \(\omega/2\)

 

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

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관련논문

 

 

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