"오일러 수"의 두 판 사이의 차이

2009년 9월 22일 (화) 18:49 판

간단한 소개

오일러수 \(E_n\)은 다음과 같이 정의됨
\(\frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{e^{t} + e^ {-t} } = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{E_n}{n!} \cdot t^n\!\)
\(\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \)
\(\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}\)
처음 몇 오일러수는 다음과 같음
\(E_0=1\),\(E_2 = â1\),\(E_4 = 5\),\(E_6 = â61\),\(E_8 = 1,385\),\(E_{10} = â50,521\),\(E_{12} = 2,702,765\),\(E_{14} = â199,360,981\),\(E_{16} = 19,391,512,145\),\(E_{18} = â2,404,879,675,441\)

재미있는 사실

\(4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=\pi\)

\(\pi-4\sum_{k=1}^{N/2}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }\sim \sum_{m=0}^{\infty}\frac{2E_{2m}}{N^{2m+1}}=\frac{2}{N}-\frac{2}{N^3}+\frac{10}{N^5}-\frac{122}{N^7}+\frac{2770}{N^7}-\frac{101042}{N^7}+\cdots\)

좀더 엄밀하게 오차항은 다음 정도의 크기를 가짐

\(4\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }=(-1)^n\sum_{k=0}^{M}\frac{2E_{2k}}{(2n)^{2k+1}}+R(M)\)

여기서 \(|R(M)| \leq \frac{2|E_{2k}|}{(2n)^{2M+1}}\)

따라서 \(N=10^{l}\) 일때, (4배한) 라이프니츠급수와 파이의 자릿수는 소수점 \(l\)번째(또는 그 앞) 자리에서 처음 다르게 나타난다.

오차항에 대해서는 \(2E_{2(M+1)}\)과 \(10^{2l}\) 의 자릿수가 엇비슷해지는 \(M\)을 찾았을때 \(k=M\) 까지 오차항을 계산하면 파이의 자릿수를 어느 정도 얻을 수 있겠다.

라이프니츠 급수로도 오일러수를 통한 보정으로 파이의 자릿수를 소수점아래 \((2M+1)l\) 자리까지는 얻을 수 있다는 얘기다.

예)

\(N=10^2\) 인 경우, \(2E_6\)가 네자리 수이므로, \(M=2\) 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 10자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.

\(4\sum_{k=1}^{50}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.12159465259101047851\cdots\)

0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

3.14159265358979323846… (원래 파이값)

3.12159465259101047851… (위의 급수)

자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수인 2, -2, 10, -122가 나타나는 것을 볼 수 있다.

예)

\(N=10^3\) 인 경우, \(2E_{10}\)이 여섯자리 수이므로, \(M=4\) 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 27자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.

\(4\sum_{k=1}^{500}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.13959265558978323858464061338053947906585258315983\cdots\)

0.12'34567890123456789012345'6789012345678901234567890123456789

3.1'415926535897932384626433'8327950288419716939937510582

3.13959265558978323858464061338053947906585258315983

자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수 2, -2, 10, -122, 2770가 나타난다.

예)

\(N=10^4\) 인 경우, \(E_{12}\)가 일곱자리 수이므로, \(M=5\) 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 44자리 정도의 전개를 얻을 수 있다.

\(4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots\)

0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

3.141'59265358'979323846264338327950288419716939937510582

3.14139265359'1793238362643395479500'1141981798188345532196965187625458916006334194979629989247706731687

자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 2, -2, 10, -122, 2770, -101042가 나타난다.

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-따라서 <math>N=10^{l}</math> 이면, 소수점 <math>l</math>번째 정도 자리에서 자릿수가 다르게 나타나며, <math>2E_{2M} \sim 10^{2l}</math> 정도 되는 <math>M</math> 이전의 전개라면 오일러 수로 적당히 보정이 가능
+따라서 <math>N=10^{l}</math> 일때,  (4배한) 라이프니츠급수와 파이의 자릿수는 소수점 <math>l</math>번째(또는 그 앞) 자리에서 처음 다르게 나타난다.
-다시 말해 소수점아래 <math>(2M+1)l</math> 자리의 전개라면 오일러 수로 적당히 보정이 가능
+오차항에 대해서는 <math>2E_{2(M+1)}</math>과 <math>10^{2l}</math> 의 자릿수가 엇비슷해지는 <math>M</math>을 찾았을때 <math>k=M</math> 까지 오차항을 계산하면 파이의 자릿수를 어느 정도 얻을 수 있겠다.
+라이프니츠 급수로도 오일러수를 통한 보정으로 파이의 자릿수를 소수점아래 <math>(2M+1)l</math> 자리까지는 얻을 수 있다는 얘기다.
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 * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
-** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
+** [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=%EC%A1%B0 http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=조]
 * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]

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