"외대수(exterior algebra)와 다중선형대수(multilinear algebra)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
(피타고라스님이 이 페이지의 이름을 외대수(exterior algebra)와 겹선형대수(multilinear algebra)로 바꾸었습니다.)
1번째 줄: 1번째 줄:
 
<h5>이 항목의 수학노트 원문주소</h5>
 
<h5>이 항목의 수학노트 원문주소</h5>
 +
 +
* [[외대수(exterior algebra)와 겹선형대수(multilinear algebra)]]
  
 
 
 
 
9번째 줄: 11번째 줄:
 
* <math>\Lambda(V)</math> : alternating algebra, exterior algebra, 그라스만 대수 라는 이름으로 불림
 
* <math>\Lambda(V)</math> : alternating algebra, exterior algebra, 그라스만 대수 라는 이름으로 불림
 
* 기하학에서 [[미분형식]] 을 정의하기 위한 대수적 장치
 
* 기하학에서 [[미분형식]] 을 정의하기 위한 대수적 장치
−
* [[search?q=%ED%81%B4%EB%A6%AC%ED%8F%AC%EB%93%9C%20%EB%8C%80%EC%88%98&parent id=12534116|클리포드 대수]] 로 일반화된다
+
* [[search?q=%ED%81%B4%EB%A6%AC%ED%8F%AC%EB%93%9C%20%EB%8C%80%EC%88%98&parent id=12534116|클리포드 대수]] 는 외대수의 일반화로 볼 수 있다
  
 
 
 
 
48번째 줄: 50번째 줄:
  
 
* <math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq\Lambda^k(V^{*})</math>
 
* <math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq\Lambda^k(V^{*})</math>
−
* <math>\langle v_1\wedge\cdots\wedge v_k, f_1\wedge\cdots\wedge f_k\rangle=\det(\langle v_i,f_j\rangle)</math>
+
* <math>v_1,\cdots, v_k \in V</math>, <math>f_1,\cdots, f_k \in V^{*}</math> 에 대하여, 다음과 같은 isomorphism <math>\Lambda^k(V^{*})\to \Lambda^k(V)^{*}</math>을 정의할 수 있다<br><math>\langle v_1\wedge\cdots\wedge v_k, f_1\wedge\cdots\wedge f_k\rangle=\det(\langle v_i,f_j\rangle)</math><br>
−
* <math>\langle v_1\wedge\cdots\wedge v_k, f_1\wedge\cdots\wedge f_k\rangle=\det(\langle v_i,f_j\rangle)</math>
 
  
 
 
 
 
55번째 줄: 56번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>교대 겹선형 형식 alternating multilinear forms</h5>
+
<h5>교대 겹선형 형식 alternating multilinear forms 와 외대수의 쌍대 공간</h5>
  
−
* 외대수의 쌍대 공간을 생각하는 또다른 방식 <math>\Lambda^k(V)^{*}\simeqA^k(V)</math>
+
* 외대수의 쌍대 공간을 생각하는 또다른 방식 <math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)</math>
 
*  k-alternating form<br><math>f:V^k\to{\mathbb R},\qquad f(v_{\sigma(1),\cdots,v_{\sigma(k)}})=(\text{sgn}\sigma)f(v_1,\cdots,v_k) \quad\text{for all} \quad\sigma\in S_k.</math><br>
 
*  k-alternating form<br><math>f:V^k\to{\mathbb R},\qquad f(v_{\sigma(1),\cdots,v_{\sigma(k)}})=(\text{sgn}\sigma)f(v_1,\cdots,v_k) \quad\text{for all} \quad\sigma\in S_k.</math><br>
 
* <math>A^k(V)</math> : the set of k-alternating forms on V
 
* <math>A^k(V)</math> : the set of k-alternating forms on V
 
* <math>A(V) = A^0(V)\oplus A^1(V) \oplus A^2(V) \oplus \cdots \oplus A^n(V)</math>
 
* <math>A(V) = A^0(V)\oplus A^1(V) \oplus A^2(V) \oplus \cdots \oplus A^n(V)</math>
−
*  wedge product 의 구체적인 표현<br><math>\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta)</math><br> 여기서 <math>\operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(k)}).</math><br>
+
*  wedge product<br><math>\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta)</math><br> 여기서 <math>\operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(k)}).</math><br>
 
*  (p,q)-shuffle 을 이용한 정의<br><math>\omega \wedge \eta(x_1,\ldots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in Sh_{k,m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \ldots, x_{\sigma(k+m)}),</math><br>
 
*  (p,q)-shuffle 을 이용한 정의<br><math>\omega \wedge \eta(x_1,\ldots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in Sh_{k,m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \ldots, x_{\sigma(k+m)}),</math><br>
−
 
−
 
 
  
 
 
 
 
117번째 줄: 116번째 줄:
 
<h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
 
<h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
  
−
*  
+
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxcTk3QjV5U09pbDA/edit
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://functions.wolfram.com/
 
* http://functions.wolfram.com/

2012년 7월 30일 (월) 12:42 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • \(\Lambda(V)\) : alternating algebra, exterior algebra, 그라스만 대수 라는 이름으로 불림
  • 기하학에서 미분형식 을 정의하기 위한 대수적 장치
  • 클리포드 대수 는 외대수의 일반화로 볼 수 있다

 

 

텐서 공간
  • V : 유한차원 벡터공간
  • \(V^{*}\) : V의 쌍대공간
  • \(T=V\otimes \cdots \otimes V \cdots \otimes V^{*}\cdots \otimes V^{*}\) : 텐서공간
  • \(T\) 의 원소를 텐서라 부른다
  • \(V, V^{*}\) 에 대한 multilinear function 으로 이해할 수 있다

 

 

텐서 대수 tensor algebra
  • \(T(V)\)

 

 

외대수 exterior algebra
  • 정의 \(\Lambda(V) := T(V)/I\)
  • \(\Lambda(V) = \Lambda^0(V)\oplus \Lambda^1(V) \oplus \Lambda^2(V) \oplus \cdots \oplus \Lambda^n(V)\)
  • \(\alpha\in \Lambda^k(V), \beta\in \Lambda^p(V)\) 에 대하여 \(\alpha\wedge\beta = (-1)^{kp}\beta\wedge\alpha\) 가 성립한다

 

 

외대수의 쌍대 공간
  • \(\Lambda^k(V)^{*}\simeq\Lambda^k(V^{*})\)
  • \(v_1,\cdots, v_k \in V\), \(f_1,\cdots, f_k \in V^{*}\) 에 대하여, 다음과 같은 isomorphism \(\Lambda^k(V^{*})\to \Lambda^k(V)^{*}\)을 정의할 수 있다
    \(\langle v_1\wedge\cdots\wedge v_k, f_1\wedge\cdots\wedge f_k\rangle=\det(\langle v_i,f_j\rangle)\)

 

 

교대 겹선형 형식 alternating multilinear forms 와 외대수의 쌍대 공간
  • 외대수의 쌍대 공간을 생각하는 또다른 방식 \(\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)\)
  • k-alternating form
    \(f:V^k\to{\mathbb R},\qquad f(v_{\sigma(1),\cdots,v_{\sigma(k)}})=(\text{sgn}\sigma)f(v_1,\cdots,v_k) \quad\text{for all} \quad\sigma\in S_k.\)
  • \(A^k(V)\) : the set of k-alternating forms on V
  • \(A(V) = A^0(V)\oplus A^1(V) \oplus A^2(V) \oplus \cdots \oplus A^n(V)\)
  • wedge product
    \(\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta)\)
    여기서 \(\operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(k)}).\)
  • (p,q)-shuffle 을 이용한 정의
    \(\omega \wedge \eta(x_1,\ldots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in Sh_{k,m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \ldots, x_{\sigma(k+m)}),\)

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

관련논문

 

 

관련도서
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=외대수(exterior_algebra)와_다중선형대수(multilinear_algebra)&oldid=15924"