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<math>G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> 이므로 <math>\hat{G}</math>는
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* <math>G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>의 쌍대군  <math>\hat{G}</math>을 정의
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* <math>\hat{G}</math>의 원소는 모두 적당한 conductor <math>f|n</math> 을 갖는 df디리클레 character 로부터 얻어진다.
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<math>\prod_{\chi\in \hat{G}}L(s,\chi)=\zeta_K(s)</math>
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2009년 11월 26일 (목) 21:15 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

간단한 소개
  • 크로네커-베버 정리
  • cyclotomic units

 

 

갈루아군

\(\zeta_n\)는 원시 n-단위근이고 \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)라 하자.

\(\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)

\(G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \)

 

 

\(\wp \subset K\) 는 소수 p 를 나누는 unramified prime ideal이라 하자. 

소수 p에 대한 아틴 심볼은  \(\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp\) 를 만족시키는 \(\sigma_p \in \text{Gal}(K/\mathbb Q)\) 로 정의

\(\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b\) 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존

유한생성 아벨군의 기본정리

 

 

데데킨트 제타함수
  • \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)에 대한 데데킨트 제타함수
    \(\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\)

 

  • \(G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)의 쌍대군  \(\hat{G}\)을 정의
  • \(\hat{G}\)의 원소는 모두 적당한 conductor \(f|n\) 을 갖는 df디리클레 character 로부터 얻어진다.

 

(정리)

\(\prod_{\chi}L(s,\chi)=\zeta_K(s)\)

 

 

 

디리클레 class number 공식과의 관계

\(\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\)

 

 

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