원분체 (cyclotomic field)

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• 원분체 (cyclotomic field)

 

 

개요

• 크로네커-베버 정리
• cyclotomic units
• class field theory
• Iwasawa theory

 

 

기호

• \(\zeta_n\)는 원시 n-단위근
• \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)

 

 

갈루아군

(정리)

\(G= \text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)

 

(증명)

\(\wp \subset K\) 는 소수 p 를 나누는 unramified prime ideal이라 하자. 

소수 p에 대한 아틴 심볼은 \(\text{Gal}(K/\mathbb Q)\)의 원소로,  \(\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp\) 를 만족시킨다.

\(\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b\) 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존한다. ■

• 유한생성 아벨군의 기본정리

 

 

원분체의 데데킨트 제타함수

• \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)에 대한 데데킨트 제타함수
  \(\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\)
  

 

• \(G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)의 쌍대군  \(\hat{G}\)을 정의
• \(\hat{G}\)의 원소는 모두 적당한 conductor \(f|n\) 을 갖는 원시(primitive) 디리클레 character 로부터 얻어진다.
• 이 디리클레 character 의 집합을 \(\tilde{G}\)라 하자

(정리)

\(\zeta_K(s)=\prod_{\chi\in \tilde{G}}L(s,\chi)\)

 

(따름정리)

등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리

 

예

• \(K = \mathbb Q(\zeta_3)=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\)의 경우 \(d_K=-3\)
  
  • \(G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^\times =\{1,2\}\)
  • \(\hat{G}=\{1,\chi\}\)
    \(\chi(a)=\left(\frac{a}{3}\right)\)
    
  • \(1\in \hat{G}\)의 conductor는 1
  • \(\chi\in\hat{G}\)의 conductor는 3
  • 따라서 제타함수의 분해는 다음과 같음
    \(\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)\)
    

• \(K = \mathbb Q(\zeta_4)=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})\)의 경우 \(d_K=-4\)
  
  • \(G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times =\{1,3\}\)
  • \(\hat{G}=\{1,\chi\}\)
    \(\chi(a)=\left(\frac{-4}{a}\right)=\left(\frac{-1}{a}\right)\)
    
  • \(1\in \hat{G}\)의 conductor는 1
  • \(\chi\in\hat{G}\)의 conductor는 4
  • 따라서 제타함수의 분해는 다음과 같음
    \(\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)\)
    

 

 

디리클레 class number 공식과의 관계

\(\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\)

 

 

class number

• \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\) 의 class number \(h_K\)
• \(K^{+} :=\mathbb Q(\zeta_n)^{+}=K\cap \mathbb{R}\)
• \(h_K=h_K^{+}h_K^{-}\)
• \(h_K^{-}\)를 relative class number라 한다

 

 

메모

• Barry Mazur How can we construct abelian Galois extensions of basic number fields? Bull. Amer. Math. Soc. 48 (2011), 155-209.

 

 

역사

• 수학사연표

 

 

관련된 항목들

• 원분다항식(cyclotomic polynomial)
• 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론
• 가우스와 정17각형의 작도
• 데데킨트 제타함수
• 정규소수 (regular prime)
• 베르누이 다항식
• 로바체프스키와 클라우센 함수

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/원분체
• http://en.wikipedia.org/wiki/cyclotomic_field
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=cyclotomic_field
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=cyclotomic+field

 

 

관련논문

• Explicit elliptic units, I
  
  • Farshid Hajir and Fernando Rodriguez Villegas, Duke Math. J. Volume 90, Number 3 (1997), 495-521.
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=

 

 

관련도서

• Introduction to Cyclotomic Fields
  
  • Lawrence C. Washington, Graduate Texts in Mathematics, 83. Springer-Verlag, New York, 1982