"월리스 곱 (Wallis product formula)"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
| 12번째 줄: | 12번째 줄: | ||
<math>\frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!}\over{n!n!}}=\frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n}\approx\frac{1}{\sqrt{\pi n}}</math> | <math>\frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!}\over{n!n!}}=\frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n}\approx\frac{1}{\sqrt{\pi n}}</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <h5>증명</h5> | ||
| + | |||
| + | * [[오일러 베타적분(베타함수)|오일러 베타적분]]<br> | ||
| + | |||
| + | <math>\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{p}\theta{d\theta}= \frac{1}{2}B(\frac{p+1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{p}{2}+\frac{1}{2})}{2\Gamma(\frac{p}{2}+1)}</math> | ||
| 20번째 줄: | 28번째 줄: | ||
* 드무아브르의 발견은 대략 1730년대 즈음 | * 드무아브르의 발견은 대략 1730년대 즈음 | ||
| − | * | + | * 데카르트 1596년 3월부터 1650년 2월까지, 뉴턴이 살았던 때가 1643년 1월부터 1727년 3월까지 |
| 60번째 줄: | 68번째 줄: | ||
* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/12/687 드무아브르의 중심극한정리(iii) : 숫자 파이와 동전던지기]<br> | * [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/12/687 드무아브르의 중심극한정리(iii) : 숫자 파이와 동전던지기]<br> | ||
| − | ** 피타고라스의 창 | + | ** 피타고라스의 창, 2008-7-12 |
2009년 11월 25일 (수) 19:35 판
간단한 소개
- 1655년, 영국 수학자 월리스(John Wallis)는 월리스 곱이라 불려지는 다음과 같은 공식을 남긴다.
\(\lim_{n \rightarrow \infty}\big(\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdots \frac{2n}{2n - 1} \cdot\frac{2n}{2n+1}\big) = \frac{\pi}{2}\)
- 스털링이 드무아브르가 남긴 문제를 해결하고 역사에 이름을 남길 때, 스털링은 바로 이 월리스의 공식을 사용했다.
\(\frac{\pi}{2}=\lim_{n\to\infty}{1\over{2n}}\cdot{{2^{4n}\,(n!)^4}\over{((2n)!)^2}}\)
- 이는 다음을 말해준다.
\(\frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!}\over{n!n!}}=\frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n}\approx\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\)
증명
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{p}\theta{d\theta}= \frac{1}{2}B(\frac{p+1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{p}{2}+\frac{1}{2})}{2\Gamma(\frac{p}{2}+1)}\)
메모
- 드무아브르의 발견은 대략 1730년대 즈음
- 데카르트 1596년 3월부터 1650년 2월까지, 뉴턴이 살았던 때가 1643년 1월부터 1727년 3월까지
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
관련된 대학원 과목
관련된 다른 주제들
표준적인 도서 및 추천도서
위키링크
- http://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product
- [1]http://www22.wolframalpha.com/input/?i=wallis+product
블로그
- 드무아브르의 중심극한정리(iii) : 숫자 파이와 동전던지기
- 피타고라스의 창, 2008-7-12