"이차 수체의 데데킨트 제타함수"의 두 판 사이의 차이

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* 이차수체 <math>K</math>에 대하여, [[데데킨트 제타함수]]는 다음과 같이 정의됨
 
* 이차수체 <math>K</math>에 대하여, [[데데킨트 제타함수]]는 다음과 같이 정의됨
  
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<math>\zeta_{K}(s)=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}=\prod_{\wp \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\wp)^{-s}}=\zeta(s)L_{d_K}(s)</math>
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<h5>제타함수의 분해</h5>
 
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* (정리)
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<math>\zeta_{K}(s)=\prod_{\wp \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\wp)^{-s}}=\zeta(s)L_{d_K}(s)</math>
  
 
* 위에서 사용된 기호들에 대한 설명
 
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<math>L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-\chi(\mathfrak{p})N(\mathfrak{p})^{-s}}</math>
 
<math>L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-\chi(\mathfrak{p})N(\mathfrak{p})^{-s}}</math>
  
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[[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]]
 
  
 
 
 
 
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<h5>관련된 항목들</h5>
 
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* [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]]<br>
  
 
 
 
 

2012년 6월 1일 (금) 16:38 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

\(\zeta_{K}(s)=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}\)

 

 

제타함수의 분해
  • (정리)

\(\zeta_{K}(s)=\prod_{\wp \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\wp)^{-s}}=\zeta(s)L_{d_K}(s)\)

  • 위에서 사용된 기호들에 대한 설명

\(\zeta(s)\) 는 리만제타함수와 리만가설

\(L_{d_K}(s)\)는 디리클레 L 함수(디리클레 L-함수 항목 참조)

\(\chi\)는 \(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시키는 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\)

  • 일반적으로 \({d_K}=d_1d_2\)에 대응되는 genus character \(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\)  (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)) 를 정의할 수 있고, 두 디리클레 L-함수의 곱으로 표현가능함 (아래 정리 참조)
  • 위의 경우는 \({d_K}=1\cdot d_K\) 에 해당

 

(정리)

\(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\)  (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\))에 대하여

\(L(\chi,s) =L_{d_1}(s)L_{d_2}(s)\)

(증명)

\(L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-\chi(\mathfrak{p})N(\mathfrak{p})^{-s}}\)

\((p)=\mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2\)

\((p)=\mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2\)

\((p)=\mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2\)

 

 

역사

 

 

 

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