"이차 수체의 데데킨트 제타함수"의 두 판 사이의 차이
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− | + | <math>L_{d_K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(d_K/n)}{n^{s}}=\prod_{p \text{:primes}} \left(1-\frac{(d_K/p)}{p^{s}}\right)^{-1}</math> ( [[디리클레 L-함수]]) | |
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− | <math>\zeta_{K}(s)=\prod_{\wp \text{:prime ideals}} (1-N(\wp)^{-s})^{-1} | + | <math>\zeta_{K}(s)=\prod_{\wp \text{:prime ideals}} \left(1-N(\wp)^{-s}\right)^{-1}</math> |
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− | <math>(p)=\mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2</math> | + | <math>\left(\frac{d_K}{p}\right)=1</math> 이면, <math>(p)=\mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2</math> |
− | <math>(p)=\mathfrak{p}_1 | + | <math>\left(\frac{d_K}{p}\right)=-1</math> 이면, <math>(p)=\mathfrak{p}_1</math> |
− | <math>(p)=\mathfrak{p}_1 | + | <math>\left(\frac{d_K}{p}\right)=0</math> 이면, <math>(p)=\mathfrak{p}_1^2</math>. ■ |
* 일반적으로 <math>{d_K}=d_1d_2</math>에 대응되는 genus character <math>\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}</math> (<math>\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}</math>) 를 정의할 수 있고, 두 디리클레 L-함수의 곱으로 표현가능함 (아래 정리 참조)<br> | * 일반적으로 <math>{d_K}=d_1d_2</math>에 대응되는 genus character <math>\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}</math> (<math>\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}</math>) 를 정의할 수 있고, 두 디리클레 L-함수의 곱으로 표현가능함 (아래 정리 참조)<br> |
2012년 6월 1일 (금) 16:54 판
이 항목의 수학노트 원문주소
개요
- 이차수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨
\(\zeta_{K}(s)=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}\)
제타함수의 분해
- (정리)
\(\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L_{d_K}(s)\)
- 위에서 사용된 기호들에 대한 설명
\(\zeta(s)\) 는 리만제타함수와 리만가설
\(L_{d_K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(d_K/n)}{n^{s}}=\prod_{p \text{:primes}} \left(1-\frac{(d_K/p)}{p^{s}}\right)^{-1}\) ( 디리클레 L-함수)
(증명)
\(\zeta_{K}(s)=\prod_{\wp \text{:prime ideals}} \left(1-N(\wp)^{-s}\right)^{-1}\)
\(\left(\frac{d_K}{p}\right)=1\) 이면, \((p)=\mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2\)
\(\left(\frac{d_K}{p}\right)=-1\) 이면, \((p)=\mathfrak{p}_1\)
\(\left(\frac{d_K}{p}\right)=0\) 이면, \((p)=\mathfrak{p}_1^2\). ■
- 일반적으로 \({d_K}=d_1d_2\)에 대응되는 genus character \(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\) (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)) 를 정의할 수 있고, 두 디리클레 L-함수의 곱으로 표현가능함 (아래 정리 참조)
- 위의 경우는 \({d_K}=1\cdot d_K\) 에 해당
(정리)
\(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\) (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\))에 대하여
\(L(\chi,s) =L_{d_1}(s)L_{d_2}(s)\)
\(L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-\chi(\mathfrak{p})N(\mathfrak{p})^{-s}}\)
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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사전 형태의 자료
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- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
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