"이차 수체의 데데킨트 제타함수"의 두 판 사이의 차이
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2012년 11월 1일 (목) 03:13 판
이 항목의 수학노트 원문주소
==개요
- 이차수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨
\(\zeta_{K}(s)=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}\)
- 더 많은 예를 보려면 복소이차수체의 데데킨트 제테함수 항목 참조
==제타함수의 분해
- (정리)
\(\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L_{d_K}(s)\)
- 위에서 사용된 기호들에 대한 설명
\(\zeta(s)\) 는 리만제타함수와 리만가설
\(L_{d_K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(d_K/n)}{n^{s}}=\prod_{p \text{:primes}} \left(1-\frac{(d_K/p)}{p^{s}}\right)^{-1}\) ( 디리클레 L-함수)
(증명)
\(\zeta_{K}(s)=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \left(1-N(\mathfrak{p})^{-s}\right)^{-1}\) 을 이용하자.
각 소수 p 에 대하여, 다음과 같은 아이디얼의 분해를 얻는다.
\(\left(\frac{d_K}{p}\right)=1\) 이면, \((p)=\mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2\) , \(\mathfrak{p}_1\neq \mathfrak{p}_2\) 이고 \(N(\mathfrak{p}_1)=N(\mathfrak{p}_2)=p\)
\(\left(\frac{d_K}{p}\right)=-1\) 이면, \((p)=\mathfrak{p}\) 이고 \(N(\mathfrak{p})=p^2\)
\(\left(\frac{d_K}{p}\right)=0\) 이면, \((p)=\mathfrak{p}^2\) 이고 \(N(\mathfrak{p})=p\)
따라서
\(\zeta_{K}(s)=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \left(1-N(\mathfrak{p})^{-s}\right)^{-1}=\prod_{p \text{:primes}} \left(1-\frac{1}{p^{s}}\right)^{-1}\prod_{p \text{:primes}} \left(1-\frac{(d_K/p)}{p^{s}}\right)^{-1}\).
이로부터 \(\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L_{d_K}(s)\) 를 얻는다. ■
- 일반적으로 \({d_K}=d_1d_2\)에 대응되는 genus character \(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\) (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)) 를 정의할 수 있고, 두 디리클레 L-함수의 곱으로 표현가능함 (아래 정리 참조)
- 위의 경우는 \({d_K}=1\cdot d_K\) 에 해당
(정리)
\(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\) (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\))에 대하여
\(L(\chi,s) =L_{d_1}(s)L_{d_2}(s)\)
\(L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-\chi(\mathfrak{p})N(\mathfrak{p})^{-s}}\)
==역사
==메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
==관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
==매스매티카 파일 및 계산 리소스
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
==사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
==리뷰논문, 에세이, 강의노트
==관련논문
==관련도서