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* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]] 에서는 다음과 같은 경우에 대하여, 타원적분의 값을 구체적으로 얻었다<br> <br><math>\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1</math> 이면, <math>K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots</math><br><math>\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2}</math> 이면, <math>K(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{2^{13/4}}B(\frac{1}{8},\frac{3}{8})=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\Gamma(\frac{1}{8})\Gamma(\frac{3}{8})}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}</math><br><math>\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}</math> 이면, <math>K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=1.5981420\cdots</math><br> | * [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]] 에서는 다음과 같은 경우에 대하여, 타원적분의 값을 구체적으로 얻었다<br> <br><math>\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1</math> 이면, <math>K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots</math><br><math>\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2}</math> 이면, <math>K(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{2^{13/4}}B(\frac{1}{8},\frac{3}{8})=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\Gamma(\frac{1}{8})\Gamma(\frac{3}{8})}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}</math><br><math>\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}</math> 이면, <math>K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=1.5981420\cdots</math><br> | ||
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* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]]<br><math>4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots</math><br> | * [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]]<br><math>4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots</math><br> | ||
* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]<br><math>\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=\frac{1}{3}B(\frac{1}{2},\frac{1}{3})=\frac{1}{6}B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})</math><br><math>6\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\sqrt{\pi}}=8.413\cdots</math><br> | * [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]<br><math>\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=\frac{1}{3}B(\frac{1}{2},\frac{1}{3})=\frac{1}{6}B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})</math><br><math>6\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\sqrt{\pi}}=8.413\cdots</math><br> | ||
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">Chowla-셀베르그의 정리</h5> | <h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">Chowla-셀베르그의 정리</h5> | ||
| − | * (정리)<br><math>i\frac{K'}{K}(k)=i\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}</math> 가 <math>d_K</math>를 판별식으로 갖는 복소이차수체 <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{d_K})</math>의 원소일 때, [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)|제1종타원적분 K]]에 대하여다음이 성립한다.<br><math>{K}(k)=\lambda\sqrt{\pi}\{\prod_{m=1}^{|d_K|}\Gamma(\frac{m}{|d_K|})^{\left(\frac{d_K}{p}\right)}\}^{ | + | * (정리)<br><math>i\frac{K'}{K}(k)=i\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}</math> 가 <math>d_K</math>를 판별식으로 갖는 복소이차수체 <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{d_K})</math>의 원소일 때, [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)|제1종타원적분 K]]에 대하여다음이 성립한다.<br><math>{K}(k)=\lambda\sqrt{\pi}\{\prod_{m=1}^{|d_K|}\Gamma(\frac{m}{|d_K|})^{\left(\frac{d_K}{p}\right)}\}^{w_{K}/{4h_{K}}}</math> 여기서 <math>\lambda</math>는 적당한 [[대수적수론|대수적수]].<br> |
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2010년 5월 26일 (수) 12:02 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
Epstein 제타함수
-
양의 정부호인 정수계수이차형식 \(Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2\) (즉\(a>0\),\(\Delta=b^2-4ac<0\)) 에 대하여 다음과 같이 정의
\(\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}\)
제1종 타원적분
- 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind) 에서는 다음과 같은 경우에 대하여, 타원적분의 값을 구체적으로 얻었다
\(\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1\) 이면, \(K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots\)
\(\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2}\) 이면, \(K(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{2^{13/4}}B(\frac{1}{8},\frac{3}{8})=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\Gamma(\frac{1}{8})\Gamma(\frac{3}{8})}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}\)
\(\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}\) 이면, \(K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=1.5981420\cdots\)
- lemniscate 곡선의 길이와 타원적분
\(4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots\) - 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
\(\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=\frac{1}{3}B(\frac{1}{2},\frac{1}{3})=\frac{1}{6}B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})\)
\(6\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\sqrt{\pi}}=8.413\cdots\) -
Chowla-셀베르그의 정리
- (정리)
\(i\frac{K'}{K}(k)=i\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}\) 가 \(d_K\)를 판별식으로 갖는 복소이차수체 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{d_K})\)의 원소일 때, 제1종타원적분 K에 대하여다음이 성립한다.
\({K}(k)=\lambda\sqrt{\pi}\{\prod_{m=1}^{|d_K|}\Gamma(\frac{m}{|d_K|})^{\left(\frac{d_K}{p}\right)}\}^{w_{K}/{4h_{K}}}\) 여기서 \(\lambda\)는 적당한 대수적수.
디리클레 L-함수의 미분
- \(d_K\)를 판별식으로 갖는 복소이차수체 \(K\)에 대하여, 디리클레 L-함수는 다음을 만족시킴
\(L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\)
예
- 디리클레 베타함수
\(K=\mathbb{Q}(i)\)
\(\beta'(1)=L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})\) - \(K=\mathbb{Q}(\omega)\), \(\omega^2+\omega+1=0\)
\(L_{-3}'(1)=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\ln(\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(2/3)})\)
재미있는 사실
역사
메모
관련된 항목들
- 데데킨트 에타함수
- Epstein 제타함수와 크로네커 극한 공식
- 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
- 렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분
- 감마함수
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Chowla-Selberg_formula
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- The lord of the numbers, Atle Selberg. On his life and mathematics
- Baas, Nils A.; Skau, Christian F. (2008), Bull. Amer. Math. Soc. 45: 617–649,
- Interview with Selberg
- On the periods of abelian integrals and a formula of Chowla and Selberg
- Benedict H. Gross, Inventiones Mathematicae, Volume 45, Number 2 / 1978년 6월
- On Epstein's Zeta-function
- S. Chowla; A. Selberg, J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967
- On Epstein's Zeta Function (I)
- S. Chowla and A. Selberg Proc Natl Acad Sci U S A. 1949 July; 35(7): 371–374
- On Epstein's Zeta Function
- Max F. Deuring, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 38, No. 3 (Jul., 1937), pp. 585-593
관련도서 및 추천도서
- Elliptic Functions According to Eisenstein and Kronecker
- A.Weil, Springer, 1998
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관련기사
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