점화식, 미분방정식, 선형대수학

http://www.wolframalpha.com/input/?i=+sin+3x+*+sin+4x+

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_0^(pi)+1/2+(cos(x)-cos(7+x))+dx

 

07 점화식

 

 

선형점화식

\(pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0\) 꼴의 점화식

점화식의 해는 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다.

 

특성방정식 \(px^2 + qx + r = 0 \) 가 서로 다른 두 근을 \(\alpha, \beta\) 를 갖는 경우.

수열 \(\alpha^{n}\)와 \(\beta^{n}\)는 선형독립인 두 해가 된다.

따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 \(a_n = A\alpha^{n} + B\beta^{n}\) 꼴로 주어진다.

 

특성방정식 \(px^2 + qx + r = 0 \) 가 중근 \(\alpha\) 를 가지는 경우

수열 \(\alpha^{n} \)와 \(n\alpha^{n} \)는 선형독립인 두 해가 된다.

따라서 점화식의 일반해는 \(a_n = A\alpha^{n} + Bn\alpha^{n}\) 꼴로 주어진다.

(증명)

\(px^2 + qx + r = 0 \)가 중근 \(\alpha\)을 가지므로 \(p\alpha^2+q\alpha+r=0, 2p+q=0\)이다.

\(p(n+2)\alpha^{n+2} + q(n+1)\alpha^{n+1} + rn\alpha^{n} =(n(p\alpha^2+q\alpha+r)+(2p+q)) \alpha^n=0\) ■

 

 

선형미분방정식

\(ay''+by'+cy=0\)

 

 

벡터공간

내적

Hermitian operator

 

\((f'',g)=(f,g'')\)