정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)

간단한 소개

• \(ax^2+bxy+cy^2\) 형태의 정수계수 다항식
  
• 자연수를 두 개의 제곱의 합으로 표현하는 문제에서 체계적인 연구가 시작
  

 

 

기본용어

• 판별식
  \(\Delta=b^2-4ac\)
  
• 이차형식의 동치류
  
  • 다음 두 변환에 의한 이차형식은 모두 같은 동치류에 있다고 정의
    \(x \to x+y\) , \(y \to y\)
    \(x \to x\), \(y \to x+y\)
    행렬로 표현하면 각각 다음과 같으며 모듈라 군(modular group)을 생성함
    \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \), \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
    
  • 즉 \(f(x,y)=g(ax+by,cx+dy)\) 인 정수 \(ad-bc= 1\) 가 존재하면, \(f\sim g\) 이라 함
    
• primitive 이차형식
  \(a,b,c\) 가 서로소인 이차형식 \(ax^2+bxy+cy^2\)
  

 

중요한 문제들

• 주어진 이차형식이 표현할 수 있는 정수에 관한 문제
  
  • 예) \(x^2+ny^2\) 꼴로 표현될 수 있는 정수집합은 무엇인가?
  • 예) \(x^2+ny^2\) 꼴로 표현될 수 있는 소수는 무엇인가?
• 주어진 판별식\(\Delta\) 를 갖는 이차형식의 동치류를 분류하는 문제
  
  • \(\Delta=b^2-4ac\)를 만족시키는 모든 \(ax^2+bxy+cy^2\) 형태의 정수계수 다항식을 찾는 것
    
  • 판별식이 \(\Delta\)인 primitive 이차형식의 동치류의 개수 \(h(\Delta)\)를 \(\Delta\)에 대한 class number 라 함
    

 

 

기약형식

• 주어진 이차형식이 있을때, 
  
• 모듈라 군의 fundamental domain은 다음과 같다
  \(R = \left\{ \tau \in H: \left| \tau \right| \geq 1,\, \left| \,\mbox{Re}(\tau) \,\right| \leq \frac{1}{2} \right\}\)
  + 경계조건
  
• 기약 형식
  
  • 양의 정부호 형식(positive definite) 인 경우에 다음 조건을 만족시키면 기약 형식이라 부름
    \(|b|\leq a \leq c\) and \(b \geq 0\) if either \(|b|=a \) or \(a=c\)
    
• \(ax^2+bxy+cy^2=a(x-\tau y)(x-\bar{\tau} y)\), \(\mbox{Im}\, \tau >0\) 로 쓰면, 기약형식의 조건과 fundamental domain의 조건을 다음과 같이 이해할 수 있다
  \(|b|\leq a \Leftrightarrow |\tau+\bar\tau|\leq 1 \Leftrightarrow |\mbox{Re}(\tau)| \leq \frac{1}{2}\)
  \(a\leq c \Leftrightarrow \tau\bar\tau\geq 1\Leftrightarrow |\tau|\geq 1\)
  fundamental domain의 경계조건은 \(b \geq 0\) if either \(|b|=a \) or \(a=c\) 로 옮겨짐
  

 

(정리)

\(\tau\) (\(\mbox{Im}\, \tau >0\)) 에 대응되는 이차형식은 \(x=aX+bY, y=cX+dY\) (여기서 \(a,b,c,d\)는 정수이고 \(ad-bc= 1\))에 의해 \(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\) 에 대응되는 이차형식으로 변환된다. 

 

 

 

판별식이 작은 경우의 기약형식 예

• \(\Delta=b^2-4ac=-3\)
  
  • \(x^2+xy+y^2\)
• \(\Delta=b^2-4ac=-4\)
  
  • \(x^2+y^2\)
• \(\Delta=b^2-4ac=-7\)
  
  • \(x^2+xy+2y^2\)
• \(\Delta=b^2-4ac=-8\)
  
  • \(x^2+2y^2\)
• \(\Delta=b^2-4ac=-11\)
  
  • \(x^2+xy+3y^2\)
• \(\Delta=b^2-4ac=-12\)
  
  • \(x^2+3y^2\), \(2x^2+2xy+2y^2\) (이 경우는 primitive 가 아님)
• \(\Delta=b^2-4ac=-15\)
  
  • \(x^2+xy+4y^2\), \(2x^2+xy+2y^2\)
• \(\Delta=b^2-4ac=-20\)
  
  • \(x^2+5y^2\), \(2x^2+2xy+3y^2\)
• \(\Delta=b^2-4ac=-23\)
  
  • \(x^2+xy+6y^2\), \(2x^2-xy+3y^2\), \(2x^2+xy+3y^2\)
  • \(h(\Delta)=3\) 이 되는 첫번째 예
• \(\Delta=b^2-4ac=-163\)
  
  • \(x^2+xy+41y^2\)
  • \(h(\Delta)=1\) 이 되는 가장 큰 예
  • 오일러의 소수생성다항식 x² +x+41 , 숫자 163 참조
• \(\Delta=b^2-4ac=-240\)
  
  • \(x^2+58y^2\), \(2x^2+29y^2\)
  • 58이 Idoneal number 인 경우

 

가우스의 class number one 문제

• 기본판별식(fundamental discriminant)
  
  • \(\Delta=\Delta_0f^2\) 의 형태로 쓸 수 없는 \(\Delta\) (\(\Delta_0\)는 적당한 판별식, \(f\)는 1보다 큰 정수)
  • 이차 수체(quadratic number fields) 로부터 얻어지는 판별식임
• 가우스의 문제
  
  • 기본판별식 \(\Delta<0\) 에 대하여 \(h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163\)
• 일반적으로는 다음과 같음
  
  • \(h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-12, -16,-19,-27,-28,-43,-67,-163\)
• 가우스의 class number one 문제 항목에서 자세히 다룸

 

 

이차형식과 이차 수체의 ideal 사이의 대응

• 이차형식과 이차 수체의 ideal을 대응시킴으로서, 주어진 판별식을 갖는 이차형식의 합성을 정의할 수 있음
  
  • 이차형식의 합성이란 \((x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)=(x_1x_2-y_1y_2)^2+(x_1y_2-x_2y_1)^2\)와 같은 공식의 일반화
• \(ax^2+bxy+cy^2\)가 양의정부호 즉 \(a>0\), \(\Delta=b^2-4ac<0\) 를 만족할 때, 대응되는 ideal은  \([2a, -b+\sqrt\Delta]\)로 주어짐
  
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관련된 다른 주제들

• 이차형식
  
• 모듈라 군(modular group)
  
• 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론
  
• 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
  
• Idoneal number
  

 

관련도서 및 추천도서

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  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=definite
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

참고할만한 자료

• The Origins of the Genus Concept in Quadratic Forms
  
  • Mark Beintema & Azar Khosravani

• \(\Delta=b^2-4ac\), Introduction to integral binary quadratic forms
  
  •  
    
  • J.P. Serre, Math. Medley, Singapore Math.Soc. 13 (1985), 1-10
• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_quadratic_form
• http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_problem
• http://mathworld.wolfram.com/ClassNumber.html
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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관련기사

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