"정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)"의 두 판 사이의 차이
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* 이 때, 어느 소수 p에 대해서 다항식이 일차식들로 쪼개지는가? 더 일반적으로 p가 주어진다면 어떻게 분해되는지 알 수 있는가? | * 이 때, 어느 소수 p에 대해서 다항식이 일차식들로 쪼개지는가? 더 일반적으로 p가 주어진다면 어떻게 분해되는지 알 수 있는가? | ||
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* [[이차잉여의 상호법칙]] 에서 가져옴 | * [[이차잉여의 상호법칙]] 에서 가져옴 | ||
* 문제 : 정수계수 다항식 <math>f(x)</math>를 <math>\pmod p</math>로 생각할 때 어떻게 인수분해되는가 | * 문제 : 정수계수 다항식 <math>f(x)</math>를 <math>\pmod p</math>로 생각할 때 어떻게 인수분해되는가 | ||
* 인수분해되는 방식에 따라서 소수 <math>p</math>가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙' | * 인수분해되는 방식에 따라서 소수 <math>p</math>가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙' | ||
| − | * <math>f(x)=x^2-5</math>라면, | + | * <math>f(x)=x^2-5</math>라면, 홀수인 소수 <math>p</math>에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다<br><math>p\equiv 1,4 \pmod 5</math> 인 경우, <math>f (x) \pmod p</math> 는 두 개의 일차식으로 분해됨<br><math>p\equiv 2,3 \pmod 5</math> 인 경우, <math>f (x) \pmod p</math> 는 분해되지 않음<br> |
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| − | * 정수 계수 이차 | + | * 정수 계수 이차 다항식 <math>x^2-a</math> 의 문제 |
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| − | * 자세한 사항은 [[이차잉여의 상호법칙]] | + | * 자세한 사항은 [[이차잉여의 상호법칙]] 에서 다루기로 함. |
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따라서 <math>\alpha^{p^r-1}=1</math> 즉 <math>\alpha^{p^r}=\alpha</math> 가 된다. 이는 <math>\alpha\in \mathbb F_{p^r}</math> 임을 의미한다. | 따라서 <math>\alpha^{p^r-1}=1</math> 즉 <math>\alpha^{p^r}=\alpha</math> 가 된다. 이는 <math>\alpha\in \mathbb F_{p^r}</math> 임을 의미한다. | ||
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| − | 프로베니우스의 density 정리에 의하면, <math>\text{Frob}_p</math>가 항등원이 되는 소수 p는 무한히 많으므로, 디리클레 정리의 특수한 경우 <math>p\equiv 1 \pmod n</math> | + | 프로베니우스의 density 정리에 의하면, <math>\text{Frob}_p</math>가 항등원이 되는 소수 p는 무한히 많으므로, 디리클레 정리의 특수한 경우 <math>p\equiv 1 \pmod n</math> 가 증명된다. |
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* 일반적인 수체 | * 일반적인 수체 | ||
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* [[이차잉여의 상호법칙]] | * [[이차잉여의 상호법칙]] | ||
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* [[합동식과 군론]] | * [[합동식과 군론]] | ||
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
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| − | * [http://www.jstor.org/stable/2317083 What is a Reciprocity Law?] B. F. Wyman, | + | * [http://www.jstor.org/stable/2317083 What is a Reciprocity Law?] B. F. Wyman, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 79, No. 6 (Jun. - Jul., 1972), pp. 571-586 |
* [http://www.jstor.org/stable/2320065 Rational Reciprocity Laws]<br> | * [http://www.jstor.org/stable/2320065 Rational Reciprocity Laws]<br> | ||
| − | ** Emma Lehmer, | + | ** Emma Lehmer, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 85, No. 6 (Jun. - Jul., 1978), pp. 467-472 |
* [http://www.springerlink.com/content/b66l342427127596/ Frobenius and his Density theorem for primes]<br> | * [http://www.springerlink.com/content/b66l342427127596/ Frobenius and his Density theorem for primes]<br> | ||
| − | ** B. Sury, | + | ** B. Sury, Springer India, Volume 8, Number 12 / 2003년 12월 |
** http://www.ias.ac.in/resonance/Dec2003/pdf/Dec2003p33-41.pdf | ** http://www.ias.ac.in/resonance/Dec2003/pdf/Dec2003p33-41.pdf | ||
* [http://www.ams.org/proc/1996-124-06/S0002-9939-96-03210-8/home.html Polynomials with roots modulo every integer]<br> | * [http://www.ams.org/proc/1996-124-06/S0002-9939-96-03210-8/home.html Polynomials with roots modulo every integer]<br> | ||
| − | ** Daniel Berend; Yuri Bilu, | + | ** Daniel Berend; Yuri Bilu, Journal: Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), 1663-1671. |
2012년 9월 9일 (일) 11:26 판
개요
- 정수계수 다항식 f(x)가 주어져 있을 때, f(x) mod p 를 생각한다.
- 이 때, 어느 소수 p에 대해서 다항식이 일차식들로 쪼개지는가? 더 일반적으로 p가 주어진다면 어떻게 분해되는지 알 수 있는가?
- 이러한 질문이 상호법칙 (reciprocity laws)의 가장 근본적인 질문들
'상호법칙'이란
- 이차잉여의 상호법칙 에서 가져옴
- 문제 : 정수계수 다항식 \(f(x)\)를 \(\pmod p\)로 생각할 때 어떻게 인수분해되는가
- 인수분해되는 방식에 따라서 소수 \(p\)가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙'
- \(f(x)=x^2-5\)라면, 홀수인 소수 \(p\)에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다
\(p\equiv 1,4 \pmod 5\) 인 경우, \(f (x) \pmod p\) 는 두 개의 일차식으로 분해됨
\(p\equiv 2,3 \pmod 5\) 인 경우, \(f (x) \pmod p\) 는 분해되지 않음
이차잉여의 상호법칙
- 정수 계수 이차 다항식 \(x^2-a\) 의 문제
- \(x^2-a\pmod p\) 가 \(p\) 에 따라 어떻게 분해되는지 혹은 몇 개의 근을 갖는지에 대한 질문
- 자세한 사항은 이차잉여의 상호법칙 에서 다루기로 함.
- 이차수체
원분다항식의 상호법칙
- 상호법칙의 질문에 따라 원분다항식(cyclotomic polynomial)의 분해에 대한 문제를 생각해 볼 수 있음.
- \(\Phi_n(x) \pmod p\) 가 어떤 소수 \(p\) 에 대해 어떻게 분해되는가의 문제
(정리)
\(p\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)의 order가 \(r\)이라 하자. 즉 r이 \(p^r=1\pmod n\) 을 만족시키는 가장 작은 자연수라 하자.
그러면 \(\Phi_n(x) \pmod p\) 는 차수가 r인 기약다항식들의 곱으로 표현된다. 즉 \(\Phi_n(x) \pmod p\)의 분해는, \(p\pmod n\)에 의해 결정된다.
(증명)
원분다항식을 기약다항식으로 분해하여 \(\Phi_n(x)=f_ 1f_ 2\cdot f_l \pmod p\) 를 얻고, \(f_ 1\)의 차수가 s라고 하자.
\(\mathbb{F}_p\)의 적당한 체확장에서 기약다항식 \(f_ 1\)의 근 \(\alpha\) 를 찾자. 그러면, \(\mathbb F_p[x]/(f_ 1)\simeq \mathbb F_p (\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}\) 을 얻는다.
\(f_ 1(\alpha)=0\) 이므로, \(\Phi_n(\alpha)=0\)이고, 따라서 \(\alpha^n=1\) 이다.
유한체 \(\mathbb F_{p^s}\) 는 방정식 \(x^{p^s}-x=x(x^{p^s-1}-1)\) 의 근으로 구성되므로, \(n|{p^s-1}\) 을 얻는다.
그러므로, \(s\geq r\) 이다.
이제 \(s\leq r\) 임을 보이자. r의 정의로부터, \(n | p^r-1\) 임을 안다.
따라서 \(\alpha^{p^r-1}=1\) 즉 \(\alpha^{p^r}=\alpha\) 가 된다. 이는 \(\alpha\in \mathbb F_{p^r}\) 임을 의미한다.
\(\mathbb F_p[x]/(f_ 1)\simeq \mathbb F_p (\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}\) 이므로, \(s\leq r\) 이다.
따라서 \(r=s\) 임이 증명된다. \[FilledSquare]
(따름정리)
\(n | p-1\) \(\iff\) \(\Phi_n(x) \pmod p\)는 일차식들로 분해된다
(증명)
위의 정리에서 \(r=1\)인 경우에 해당한다 \[FilledSquare]
다른 예
디리클레 정리와 원분다항식의 상호법칙
- \(n | p-1\) 이면, \(\Phi_n(x) \pmod p\)는 일차식들로 분해되는데, 이 사실은 \(\text{Frob}_p\) 가 체확장 \(\mathbb Q \subset \mathbb Q(\zeta_n)\)의 갈루아군의 항등원임을 의미한다.
프로베니우스의 density 정리에 의하면, \(\text{Frob}_p\)가 항등원이 되는 소수 p는 무한히 많으므로, 디리클레 정리의 특수한 경우 \(p\equiv 1 \pmod n\) 가 증명된다.
- 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리 항목도 참조.
프로베니우스의 밀도 정리
체보타레프 밀도 정리
- 일반적인 수체
원분체의 arithmetic
- Kronecker-Weber theorem and Ray class field
- 이차잉여의 상호법칙
- 디리클레 정리
- 가우스합
메모
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Field_Arithmetic
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- What is a Reciprocity Law? B. F. Wyman, The American Mathematical Monthly, Vol. 79, No. 6 (Jun. - Jul., 1972), pp. 571-586
- Rational Reciprocity Laws
- Emma Lehmer, The American Mathematical Monthly, Vol. 85, No. 6 (Jun. - Jul., 1978), pp. 467-472
- Frobenius and his Density theorem for primes
- B. Sury, Springer India, Volume 8, Number 12 / 2003년 12월
- http://www.ias.ac.in/resonance/Dec2003/pdf/Dec2003p33-41.pdf
- Polynomials with roots modulo every integer
- Daniel Berend; Yuri Bilu, Journal: Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), 1663-1671.