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방정식을 풀면,
 
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<math>y^3+y^2-2y-1=0</math>
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<math>y^3+y^2-2y-1=0</math>[[3차 방정식의 근의 공식]]
  
 
 
 
 
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<h5>대각선의 길이</h5>
 
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<math>d_i=\frac{\sin \frac{(i+1)\pi}{k+2}}{\sin \frac{\pi}{k+2}}}</math> satisfies
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<math>d_i^2=1+d_{i-1}d_{i+1}</math> where <math>d_0=1</math>, <math>d_k=1</math>
  
 
 
 
 

2010년 11월 26일 (금) 08:22 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

 

 

정칠각형 꼭지점의 평면좌표
  • 정칠각형이 단위원에 내접하고 있고, 한 점의 좌표가 (1,0) 으로 주어진 경우
  • 방정식 \(z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0\)
    은 다음과 같은 순서로 풀수 있음.
     
  • 양변을 \(z^3\)으로 나누면, \(z^3+z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}=0\) 을 얻게됨.

\(y=z+\frac{1}{z}\) 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.

\(z^3+z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}=(z+\frac{1}{z})^3+(z+\frac{1}{z})^2-2(z+\frac{1}{z})-1=y^3+y^2-2y-1=0\)

방정식을 풀면,

\(y^3+y^2-2y-1=0\)3차 방정식의 근의 공식

 

\(y=2\cos\frac{2\pi}{7}, 2\cos\frac{4\pi}{7},2\cos\frac{6\pi}{7}\)

\(z^2-yz+1=0\)

\(z=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}\)

 

을 얻게 됨. 

 

  • 복소평면상에서 \(z\) 의 \(x\) 좌표는  로 주어짐.

 

 

 

대각선의 길이

 

\(d_i=\frac{\sin \frac{(i+1)\pi}{k+2}}{\sin \frac{\pi}{k+2}}}\) satisfies

\(d_i^2=1+d_{i-1}d_{i+1}\) where \(d_0=1\), \(d_k=1\)

 

 

 

다이로그 항등식

\(\alpha, -\beta, -\gamma^{-1}\) 가 방정식\(x^3+2x^2-x-1=0\) 의 해라고 하자.

\(7L(\alpha^2)-7L(\alpha)+L(1)=0\)

\(7L(\beta^2)+14L(\beta)-10L(1)=0\)

\(7L(\gamma^2)+14L(\gamma)-8L(1)=0\)

 

 

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