중복조합의 공식 H(n,r)=C(n+r-1,r)

간단한 소개

• 조합
  
  • 여러 개의 원소 중에서 몇 개를 순서에 관계없이 뽑아내는 것
  • 가령 1,2,3,4 네 개의 수 가운데서 세 개씩 뽑아 모은 조합은 123, 124, 134, 234 의 네 가지
  • n개 중에서 r개를 선택하는 조합의 개수를  \(_n C_r = {n\choose r} \)로 표현함
  • 즉, \(_4 C_3 = {4\choose 3} =4\) 가 됨.
    
  • 일반적으로 \(_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}\) 공식을 통해 구할수 있음.
     
    
• 중복조합
  
  • 주어진 집합의 원소 중에서 뽑되 동일한 원소의 중복을 허용하여 뽑아내는 것
  • 1과 2에서 세 개를 취하는 중복조합은 111, 112, 122, 222의 네 가지가 있음.
  • n개 중에서 r개를 선택하는 중복조합의 개수를 이라고 쓰자. \(_n C_r = {n\choose r} \)즉, H(2,3)=4.
    H(2,3) = C(2+3-1,3)=C(4,3)=4 임을 확인할 수 있다.
• 중복조합의 공식

 

증명의 아이디어

• 증명의 아이디어를 이해하기 위해, H(4,2)의 예를 들어보자
• 1,2,3,4 중에서 뽑는 것으로 하면, 중복해서 두 개를 뽑는 방법은 다음과 같이 열 가지가 있음.
  
  • 11,12,13,14,22,23,24,33,34,44
• 이제 이 중복조합에서 첫번째 것은 내버려 두고, 두번째 수에 1을 더하면 다음과 같은 결과를 얻음.
  
  • 12,13,14,15,23,24,25,34,35,45
  • 이것은 1부터 5까지 중에서 2개를 선택하는 방법과 같아짐.
• 그러므로, H(4,2)=C(5,2)

 

• 또다른 예. H(2,3)의 계산.
• 1,2 중에서 세 가지를 택하는 중복조합은 다음과 같음.
  
  • 111,112,122,222
• 위에서 한 것처럼 첫번째 것은 내버려 두고, 두번째 것에 1, 세번째 것에 2를 더해 보면, 다음을 얻게 됨
  
  • 123,124,134,234
  • 이 경우는 1,2,3,4 중에서 세 개를 뽑는 조합과 일치함.
• 그러므로, H(2,3)=C(4,3)

 

• 특정한 조합과 특정한 중복조합 사이에 일대일대응이 존재하는 것을 보이는 것임.

 

 

 

 

 

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