초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)

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• 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)

 

 

개요

• \(0,1,\infty\) 세 점에서 정규특이점(regular singular points)을 가지는 2계 선형 미분방정식
  
• 다음과 같은 미분방정식을 말함
  \(z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0\)
  

• 리만구면 상의 세 점에서 정규특이점을 갖는 미분방정식은 초기하미분방정식으로 변형가능
  

• 19세기에 활발하게 연구
  
• Fuchsian 미분방정식의 간단하고 중요한 예로 이론의 모델을 제공
  

 

 

급수해

• 프로베니우스 급수해 방법으로 찾을 수 있다 [1]http://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_solution_to_the_hypergeometric_equation
  
• 다음 급수는 초기하 미분방정식의 해이다
  \(\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n, |z|<1\)
  여기서 \((a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1)\)는 Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호
  

 

 

선형독립인 해

• \(z=0\)에서의 급수해
  \(_2F_1(a,b;c;z)\)
  \(z^{1-c}{}_2F_1(b+1-c,a+1-c;2-c;z)\)
  

 

 

쿰머의 24개 해

• 쿰머의 초기하 미분방정식의 24개 해
  

 

 

메모

• The grand unified theory of 19th century math
  

 

 

역사

• 수학사연표

 

 

관련된 항목들

• 미분방정식
  
• 이계 선형 미분방정식
  

• 초기하급수(Hypergeometric series)와 q-초기하급수
  
• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
  
• Schwarz-Christoffel mappings
  
• 르장드르 다항식