초기하급수(Hypergeometric series)

간단한 소개

• 두 연속한 계수의 비가 \(n\) 에 관한 유리함수인 멱급수를 초기하급수라 함. 즉,
  \(\beta_0 + \beta_1 z + \beta_2 z^2 + \dots = \sum_n \beta_n z^n\)
  

\(\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{A(n)}{B(n)}\) 이고 \({A(n)},{B(n)}\)은 n에 관한 다항식인 경우

 

 

정의

계수의 비가 유리함수이므로 분자와 분모를 각각 일차식들로 분해하여 다음과 같이 주어지는 경우,

\(\frac{A(n)}{B(n)}=\frac{c(a_1+n)\dots(a_p+n)}{d(b_1+n)\dots(b_q+n)(1+n)}\)

where c and d are the leading coefficients of A and B

급수는 다음과 같이 주어진다.

\(1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1}\frac{cz}{d} + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1} \frac{(a_1+1)\dots(a_p+1)}{(b_1+1)\dots (b_q+1).2}\left(\frac{cz}{d}\right)^2+\dots\)

변수를 적당히 상수배하면 다음과 같은 급수를 얻는다.

\(\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)=1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q}\frac{z}{1!} + \frac{a_1(a_1+1)\dots a_p(a_p+1)}{b_1(b_1+1)\dots b_q(b_q+1)}\frac{z^2}{2!}+\dots\)

Pochhammer 기호 \((a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1),\,(a)_0 = 1\)

를 사용하면 좀더 간결한 다음과 같은 표현을 얻는다.

\(\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\dots(a_p)_n}{(b_1)_n\dots(b_q)_n} \, \frac {z^n} {n!}\)

가우스의 초기하함수

\(\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n\)

미분방정식

\(z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0\)

을 만족시킴.

 

 

예

• 지수함수
  \(e^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\dots=\sum_n \beta_n z^n\)
  \(\beta_n = \frac{1}{n!}\)
  \(\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{1}{n+1}\)
  

• \((1-z)^{-a}=F(a,1;1;z)\)
• \(\arcsin z=zF(1/2,1/2;3/2;z)\)
• \(K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\)

 

 

타원적분과 초기하급수

• 타원적분
  

\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!} k^{2n}\sin^{2n}\theta{d\theta} \)

\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}\theta{d\theta}=\frac{\pi}{2}\frac{(\frac{1}{2})_n}{(1)_n}\) (감마함수) 이므로

\(K(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n(\frac{1}{2})_n}{n!(1)_n}k^{2n} = \frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\)

Clausen 항등식

\(\,_2F_1(a,b,;a+b+\frac{1}{2};z)^2 = \,_3F_2(2a,a+b,2b;a+b+\frac{1}{2},2a+2b;z) \)

 

 

q-초기하급수

• 초기하급수의 q-analogue
  \(\;_{j}\phi_k \left[\begin{matrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_{j} \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \end{matrix} ; q,z \right] \) \(=\sum_{n=0}^\infty \frac {(a_1;q)_n(a_2;q)_n\cdots (a_{j};q)_n} {(q;q)_n(b_1;q)_n,\cdots (b_k,q)_n} \left((-1)^nq^{n\choose 2}\right)^{1+k-j}z^n\)
  
• q-hypergeometric 또는 basic hypergeometric 급수로 불림

 

 

q-초기하급수의 예

•  

 

• \(j=k=0\), \(z=-q^{\frac{1}{2}}\) 인 경우

\(G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots\)

• \(j=k=0\), \(z=-q^{\frac{3}{2}}\) 인 경우
  \(H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} =1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots\)
  

• 로저스-라마누잔 연분수와 항등식 참조

 

 

 

 

 

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관련된 다른 주제들

• Hypergeometric differential equations
• Schwarz-Christoffel mappings
• 로저스-라마누잔 항등식
• 수학사연표

 

관련도서 및 추천도서

• Basic hypergeometric series
  
  • Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), 
• A=B
  
  • Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, AK Peters, Ltd, 1996-1
  • http://www.math.upenn.edu/~wilf/AeqB.html
• Conformal Mapping
  
  • Zeev Nehari, Dover Publications, 1982-1
• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
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수학용어번역

• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=kor_term&fstr=초기하
    
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

참고할만한 자료

• Applications of Basic Hypergeometric Functions
  
  • George E. Andrews, SIAM Rev. Volume 16, Issue 4, pp. 441-484 (October 1974)
  • This paper surveys recent applications of basic hypergeometric functions to partitions, number theory, finite vector spaces, combinatorial identities and physics.
• http://ko.wikipedia.org/wiki/초기하
• http://en.wikipedia.org/wiki/hypergeometric_functions
• http://en.wikipedia.org/wiki/Basic_hypergeometric_series
• http://mathworld.wolfram.com/ClausenFormula.html
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=

 

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