"클라인의 4차곡선"의 두 판 사이의 차이

2010년 11월 5일 (금) 05:24 판

종수(genus)가 3인 복소대수곡선
- \(\mathbb CP^2\) 에서 \(x^3y+y^3z+z^3x=0\) 로 주어진 (복소) 대수곡선
- 푸앵카레 상반평면을 universal covering으로 갖는 쌍곡기하학의 곡면
  \(\mathbb H^2/\Gamma(7)\)
  \(\Gamma(7)=\left\{\begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} \in SL(2,\mathbb Z) : \begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} 1&0\\0&1 \end{bmatrix} \pmod 7\right\}\)
쌍곡기하학 세계의 Platonic solid, 즉 정다면체
- 정칠각형으로 24조각으로 만들어진 정이십사면체
- 자기동형군, 즉 대칭군은 PSL(2,7)와 동형임.
- 168가지의 대칭을 가짐

\(x^3y+y^3z+z^3x=0\)
order 3
x-> y-> z-> x
order 7
x->ax, y->by, z->cz for some a,b,c
we want a^3b=b^3c=c^3a
solution : a=\zeta^4, b=\zeta^2,c=\zeta^1 where \zeta^7=1

PSL(2,7) (isomorphic PSL(3,2)) has order 168
GL(2,7) has order (7^2-1)(7^2-7)
SL(2,7) has order (7^2-1)7=6\times 7\times 8
PSL(2,7) has order 6\times 7\times 8/2
크기가 가장 작은 후르비츠 군이다 (a^2=b^3=c^7=abc=1)
a=S, b=ST, c=T 로 두면 된다(S,T는 모듈라 군(modular group) 의 원소)
\(S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \), \(T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

삼각형의 세 각이 각각
\(\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\)
로 주어지며, 이 세각의 크기를 모두 더하면,
\(\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{41\pi}{42}\)
가 되어, 180도보다 작게 된다.
쌍곡기하학에서의 곡률은 음수이기 때문에 나타나는 현상이다.
쌍곡기하학 항목 참조

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@@ 35번째 줄: / 35번째 줄: @@
 * SL(2,7) has order (7^2-1)7=6\times 7\times 8
 * PSL(2,7) has order 6\times 7\times 8/2
-*  크기가 가장 작은 후르비츠 군이다 (a^2=b^3=c^7=abc=1)<br>  <br>
+*  크기가 가장 작은 후르비츠 군이다 (a^2=b^3=c^7=abc=1)<br> a=S, b=ST, c=T 로 두면 된다(S,T는 [[모듈라 군(modular group)]] 의 원소)<br><math>S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} </math>, <math>T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math><br>