"타니야마-시무라 추측(정리)"의 두 판 사이의 차이
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* 유리수체 위의 해의 개수<br><math>E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|y^2=x^3-4x^2+16\}\cup \{(\infty,\infty})\}</math><br><math>M_p=\#E(\mathbb{F}_p)</math> :<br><math>a_p=p+1-M_p</math><br> | * 유리수체 위의 해의 개수<br><math>E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|y^2=x^3-4x^2+16\}\cup \{(\infty,\infty})\}</math><br><math>M_p=\#E(\mathbb{F}_p)</math> :<br><math>a_p=p+1-M_p</math><br> | ||
* 모듈라 형식<br><math>f(\tau)={\eta(\tau)^2\eta(11\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})^2(1-q^{11n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{2 }- q^{3 }+ 2 q^{4 }+ q^{5 }+ 2 q^{6 }- 2 q^{7 }- 2 q^{9 }- 2 q^{10 }+ q^{11 }- 2 q^{12 }+ 4 q^{13 }+ 4 q^{14 }- q^{15 }- 4 q^{16 }- 2 q^{17}+\cdots</math><br> | * 모듈라 형식<br><math>f(\tau)={\eta(\tau)^2\eta(11\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})^2(1-q^{11n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{2 }- q^{3 }+ 2 q^{4 }+ q^{5 }+ 2 q^{6 }- 2 q^{7 }- 2 q^{9 }- 2 q^{10 }+ q^{11 }- 2 q^{12 }+ 4 q^{13 }+ 4 q^{14 }- q^{15 }- 4 q^{16 }- 2 q^{17}+\cdots</math><br> | ||
| − | * 다음 표는 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>p,a_p,c_p</math> 를 나타냄. <math>a_p=c_p</math> | + | * 다음 표는 소수 <math>p</math>에 대하여 각각 위에서 정의한 <math>p,a_p,c_p</math> 를 나타냄. <math>a_p=c_p</math> 이 일반적으로 성립함을 볼 수 있음<br> <br> 2 -1 -2<br> 3 -1 -1<br> 5 1 1<br> 7 -2 -2<br> 11 1 1<br> 13 4 4<br> 17 -2 -2<br> 19 0 0<br> 23 -1 -1<br> 29 0 0<br> 31 7 7<br> 37 3 3<br> 41 -8 -8<br> 43 -6 -6<br> 47 8 8<br> 53 -6 -6<br> 59 5 5<br> 61 12 12<br> 67 -7 -7<br> 71 -3 -3<br> |
2009년 12월 26일 (토) 18:36 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 유리수체 위에 정의된 타원 곡선의 Hasse-Weil L-함수와 weight 2인 모듈라 형식의 관계
예1. 타원곡선 \(E: y^2=x^3-4x^2+16\)
- 타원곡선
\(E: y^2=x^3-4x^2+16\)
conductor = 11 - 유리수체 위의 해의 개수
\(E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|y^2=x^3-4x^2+16\}\cup \{(\infty,\infty})\}\)
\(M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\) :
\(a_p=p+1-M_p\) - 모듈라 형식
\(f(\tau)={\eta(\tau)^2\eta(11\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})^2(1-q^{11n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{2 }- q^{3 }+ 2 q^{4 }+ q^{5 }+ 2 q^{6 }- 2 q^{7 }- 2 q^{9 }- 2 q^{10 }+ q^{11 }- 2 q^{12 }+ 4 q^{13 }+ 4 q^{14 }- q^{15 }- 4 q^{16 }- 2 q^{17}+\cdots\) - 다음 표는 소수 \(p\)에 대하여 각각 위에서 정의한 \(p,a_p,c_p\) 를 나타냄. \(a_p=c_p\) 이 일반적으로 성립함을 볼 수 있음
2 -1 -2
3 -1 -1
5 1 1
7 -2 -2
11 1 1
13 4 4
17 -2 -2
19 0 0
23 -1 -1
29 0 0
31 7 7
37 3 3
41 -8 -8
43 -6 -6
47 8 8
53 -6 -6
59 5 5
61 12 12
67 -7 -7
71 -3 -3
예2. 타원곡선 \(E: y^2=x^3+x^2+4x+4\)
- 타원곡선
\(E: y^2=x^3+x^2+4x+4\)
conductor = 20 - 유리수체 위의 해의 개수
\(E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3+x^2+4x+4\}\cup \{(\infty,\infty})\}\)
\(M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\)
\(a_p=p+1-M_p\) - 모듈라 형식
\(f(\tau)={\eta(2\tau)^2\eta(10\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{2n})^2(1-q^{10n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{3 }- q^{5 }+ 2 q^{7 }+ q^{9 }+ 2 q^{13 }+ 2 q^{15 }- 6 q^{17 }- 4 q^{19 }- 4 q^{21 }+ 6 q^{23 }+\cdots\) - 다음 표는 소수 \(p\)에 대하여 \(p,a_p,c_p\) 를 나타냄. \(a_p=c_p\) 임을 볼 수 있음
2 0 0
3 -2 -2
5 -1 -1
7 2 2
11 0 0
13 2 2
17 -6 -6
19 -4 -4
23 6 6
29 6 6
31 -4 -4
37 2 2
41 6 6
43 -10 -10
47 -6 -6
53 -6 -6
59 12 12
61 2 2
67 2 2
71 -12 -12
다른 예
- \(y^2=x^3 + 4 x\)와
푸리에계수
재미있는 사실
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Taniyama-Shimura-Weil_conjecture
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- Eta-quotients and elliptic curves
- Y Martin, K Ono - Proceedings of the American Mathematical Society, 1997
- Number Theory as Gadfly
- B. Mazur, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 7 (Aug. - Sep., 1991), pp. 593-610
관련도서
- lgorithms for modular elliptic curves
- J. E. Cremona
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관련기사
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