타원 모듈라 j-함수의 singular moduli

개요

• 타원 모듈라 j-함수의 quadratic imaginary number 에서의 값들
• 중요한 결과로 Gross-Zagier 공식이 있음

예

\( j(\sqrt{-1})=1728=12^3\)

\(j(\frac {-1+\sqrt{-3}}{2})=0\)

\(j(\frac {-1+\sqrt{-7}}{2})=-3375=-15^3\)

\( j(\sqrt{-2})=8000=20^3\)

\(j(\frac {-1+\sqrt{-11}}{2})=-32768=-32^3\)

\(j(\frac {-1+\sqrt{-19}}{2})=-884736=-96^3\)

\(j(\frac {-1+\sqrt{-43}} {2})=-884736000=-960^3\)

\(j(\frac {-1+\sqrt{-67}} {2})=-147197952000=-5280^3\)

\( j(\frac {-1+\sqrt{-163}} {2})=-262537412640768000=-640320^3\)

\( j(\sqrt{-3})=54000=2(30)^3\)

\( j(\sqrt{-4})=287496=(66)^3\)

\( j(\sqrt{-7})=16581375=(255)^3\)

\(j(\frac {-1+3\sqrt{-3}}{2})=-12288000=-3(160)^3\)

\( j(\sqrt{-5})=632000+282880 \sqrt{5}=(50+26\sqrt{5})^3\)

\(j(\frac {-1+\sqrt{-5}}{2})=632000-282880 \sqrt{5}=(50-26\sqrt{5})^3\)

Gross-Zagier 공식

• \(d_1, d_ 2\)가 서로 다른 두 복소이차수체 \(K_1, K_2\)의 판별식이라 하자.
• \(J(d_ 1,d_ 2)\)를 \(\prod_{}\left(j(\alpha_1)-j(\alpha_2)\right)^{\frac{4}{w_1 w_2}}\) 로 정의하자. 여기서 \(\alpha_1, \alpha_2\) 는 각각 K_ 1, K_ 2 의 ideal class의 representatives
• (정리)[Gross-Zagier] \[J (d_ 1,d_ 2)^2=\prod_{\substack{x,n,n'\in \mathbb{Z}, \\ x^2+4nn'=d_ 1d_ 2, \\ n,n'>0}}n^{\epsilon(n')}\]
  

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

메모

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

관련된 항목들

• complex multiplication

수학용어번역

• 단어사전
  
  • http://translate.google.com/#en%7Cko%7C
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• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
• 남\[CenterDot북한수학용어비교]
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매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxU3MtUWtoTS1kaW8/edit
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation
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사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
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• The Online Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

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