타원적분(통합됨)

간단한 소개

• 타원의 둘레의 길이를 구하는데서 기원함.
• Put $x=\sin\theta$. $dx=\cos\theta d\theta$.
  $$K(k)=\int^{1}_{0}\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}=\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta}}$$
  By the same change of variable, we get $$T(k)=\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta}d\theta$$
  
  Put x=a\sin\theta, y=b\cos\theta.
  타원의 둘레의 길이는 다음과 같이 주어짐.
• 4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{a^2\cos^2 \theta +b^2\sin^2 \theta}d\theta
• 4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{a^2(1-\sin^2 \theta) +b^2\sin^2 \theta}d\theta
  $$=$$
  $$==4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}a\sqrt{1-(1-\frac{b^2}{a^2})\sin^2 \theta}d\theta$$
  $$=4a\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta}d\theta=4aT(k) \text{ where }  k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$$
• 일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 타원적분이라 부름[1]
  
  • [2]
  • 여기서 R은 x,y의 유리함수이고, y^2 = x의 3차식 또는 4차식으로 주어짐.
• 예를 들자면,
  
  • [3]
  • [4]