"파이 π는 무리수이다"의 두 판 사이의 차이

2010년 7월 12일 (월) 20:25 판

\(\int_0^1 x \sin \pi x\,dx = \frac{1}{\pi}\)

\(\int_0^1x^2 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-4}{\pi^3}\)

\(\int_0^1x^3 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-6}{\pi^3}\)

\(\int_0^1x^4 \sin \pi x\,dx = \frac{48-12 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)

\(\int_0^1x^5 \sin \pi x\,dx = \frac{120-20 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)

\(\int_0^1x^6 \sin \pi x\,dx = \frac{-1440+360\pi^2-30 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)

\(\int_0^1x^7 \sin \pi x\,dx = \frac{-5040+840\pi^2-42 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)

르장드르 다항식
\(P_n(x) = \frac{1}{n!} {d^n \over dx^n } \left[ x^{n}(1-x)^n \right]\)

(정리)

\(\int_{0}^{1}P_n(x)f(x)\,dx=-\int_{0}^{1}P_{n-1}(x)f^{(1)}(x)\,dx=\cdots=(-1)^{n}\int_{0}^{1}P_{0}(x)f^{(n)}(x)\,dx\)

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 <h5>관찰2</h5>
-* [[르장드르 다항식]]
+* [[르장드르 다항식]]<br><math>P_n(x) = \frac{1}{n!} {d^n \over dx^n } \left[ x^{n}(1-x)^n \right]</math><br>
-<math>P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]</math>
+(정리)
+<math>\int_{0}^{1}P_n(x)f(x)\,dx=-\int_{0}^{1}P_{n-1}(x)f^{(1)}(x)\,dx=\cdots=(-1)^{n}\int_{0}^{1}P_{0}(x)f^{(n)}(x)\,dx</math>