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일반적인 함수 
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일반적인 함수 <math>f</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
  
 
<math>\int_{0}^{1}P_n(x)f(x)\,dx=-\int_{0}^{1}P_{n-1}(x)f^{(1)}(x)\,dx=\cdots=(-1)^{n}\int_{0}^{1}P_{0}(x)f^{(n)}(x)\,dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}(x^{n}(1-x)^n)f^{(n)}\,dx</math>
 
<math>\int_{0}^{1}P_n(x)f(x)\,dx=-\int_{0}^{1}P_{n-1}(x)f^{(1)}(x)\,dx=\cdots=(-1)^{n}\int_{0}^{1}P_{0}(x)f^{(n)}(x)\,dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}(x^{n}(1-x)^n)f^{(n)}\,dx</math>
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(증명)
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부분적분 ■
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<h5>π는 무리수임의 증명</h5>
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π는 무리수, 즉 <math>\pi=a/b</math> 이라고 가정하자. 
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<math>\int_0^1x^j \sin \pi x\,dx </math> 의 형태에 의하여, 
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2010년 7월 12일 (월) 20:35 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

 

 

관찰1

\(\int_0^1 x \sin \pi x\,dx = \frac{1}{\pi}\)

\(\int_0^1x^2 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-4}{\pi^3}\)

\(\int_0^1x^3 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-6}{\pi^3}\)

\(\int_0^1x^4 \sin \pi x\,dx = \frac{48-12 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)

\(\int_0^1x^5 \sin \pi x\,dx = \frac{120-20 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)

\(\int_0^1x^6 \sin \pi x\,dx = \frac{-1440+360\pi^2-30 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)

\(\int_0^1x^7 \sin \pi x\,dx = \frac{-5040+840\pi^2-42 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)

 

 

관찰2

 

(정리)

일반적인 함수 \(f\)에 대하여, 다음이 성립한다.

\(\int_{0}^{1}P_n(x)f(x)\,dx=-\int_{0}^{1}P_{n-1}(x)f^{(1)}(x)\,dx=\cdots=(-1)^{n}\int_{0}^{1}P_{0}(x)f^{(n)}(x)\,dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}(x^{n}(1-x)^n)f^{(n)}\,dx\)

 

(증명)

부분적분 ■

 

 

π는 무리수임의 증명

π는 무리수, 즉 \(\pi=a/b\) 이라고 가정하자. 

\(\int_0^1x^j \sin \pi x\,dx \) 의 형태에 의하여, 

 

 

 

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