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일반적인 함수 <math>f</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
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<math>n\geq 1</math> 일 때, n번 미분가능한 함수 <math>f</math>에 대하여 다음이 성립한다.
  
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<math>\int_{0}^{1}P_n(x)f(x)\,dx=-\int_{0}^{1}P_{n-1}(x)f^{(1)}(x)\,dx=\cdots=(-1)^{n}\int_{0}^{1}P_{0}(x)f^{(n)}(x)\,dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}(x^{n}(1-x)^n)f^{(n)}\,dx</math>
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<math>\int_0^1P_n(x)f(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_0^1 x^{n}(1-x)^nf^{(n)}(x)\,dx</math>.
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부분적분 ■
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부분적분. [[ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)]] 의 보조정리4 참조. ■
  
 
 
 
 
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<math>\int_0^1x^j \sin \pi x\,dx </math>에 의하여,
 
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<math>\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{A_{n}}{B_{n}}</math> 는 0이 아닌 유리수가 된다. <math>P_{n}(x)</math>는 n차 다항식이므로, <math>a^{n+1}</math>을 <math>A_{n}/B_{n}</math>의 양변에 곱하면, 자연를 얻는다. 
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<math>\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{A_{n}}{B_{n}}</math> 는 0이 아닌 유리수가 된다. <math>P_{n}(x)</math>는 정수계수를 갖는 n차 다항식이므로, <math>a^{n+1}</math>을 <math>A_{n}/B_{n}</math>의 양변에 곱하면, 자연수를 얻는다. 
  
 
즉, <math>0<|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx|</math> 는 자연수이다. 한편,
 
즉, <math>0<|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx|</math> 는 자연수이다. 한편,
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* [http://mathdl.maa.org/mathDL/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2886 Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3)]<br>
 
* [http://mathdl.maa.org/mathDL/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2886 Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3)]<br>
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** Dirk Huylebrouck, The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231
 
** Dirk Huylebrouck, The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231
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* [http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890%28199705%29104%3A5%3C439%3AOLPOTI%3E2.0.CO%3B2-7 On Lambert's Proof of the Irrationality of Pi]<br><br>
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* [[#]]<br>
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** M. Laczkovich, The American Mathematical Monthly, Vol. 104, No. 5 (May, 1997), pp. 439-443
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** M. Laczkovich, The American Mathematical Monthly, Vol. 104, No. 5 (May, 1997), pp. 439-443
 
* [http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9904-1947-08821-2 A simple proof that $\pi$ is irrational]<br>
 
* [http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9904-1947-08821-2 A simple proof that $\pi$ is irrational]<br>
 
** Ivan Niven,  Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 509. 
 
** Ivan Niven,  Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 509. 

2011년 1월 1일 (토) 13:16 판

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개요

 

 

관찰1

\(\int_0^1 x \sin \pi x\,dx = \frac{1}{\pi}\)

\(\int_0^1x^2 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-4}{\pi^3}\)

\(\int_0^1x^3 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-6}{\pi^3}\)

\(\int_0^1x^4 \sin \pi x\,dx = \frac{48-12 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)

\(\int_0^1x^5 \sin \pi x\,dx = \frac{120-20 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)

\(\int_0^1x^6 \sin \pi x\,dx = \frac{-1440+360\pi^2-30 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)

\(\int_0^1x^7 \sin \pi x\,dx = \frac{-5040+840\pi^2-42 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)

 

 

관찰2

 

(정리)

\(n\geq 1\) 일 때, n번 미분가능한 함수 \(f\)에 대하여 다음이 성립한다.

\(\int_0^1P_n(x)f(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_0^1 x^{n}(1-x)^nf^{(n)}(x)\,dx\).

(증명)

부분적분. ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리) 의 보조정리4 참조. ■

 

 

π는 무리수임의 증명

π는 무리수, 즉 \(\pi=a/b\) 이라고 가정하자. 

\(\int_0^1x^j \sin \pi x\,dx \)에 의하여,

\(\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{A_{n}}{B_{n}}\) 는 0이 아닌 유리수가 된다. \(P_{n}(x)\)는 정수계수를 갖는 n차 다항식이므로, \(a^{n+1}\)을 \(A_{n}/B_{n}\)의 양변에 곱하면, 자연수를 얻는다. 

즉, \(0<|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx|\) 는 자연수이다. 한편,

\(|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin x\,dx|=|a^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \pi x\,dx|\leq |a^{n+1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\pi^{n} \,dx|\)

우변에 대하여 다음이 성립한다.

\(n \to \infty\) 일 때, \(a^{n+1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\pi^{n} \,dx|\leq a^{n+1}\frac{1}{n!}(\frac{1}{4})^n\pi^n|\to 0\)

따라서 

\(|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx|\) 는 자연수일 수 없다. 모순. 따라서 π는 무리수이다. ■

 

 

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