"파이 π는 무리수이다"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
39번째 줄: 39번째 줄:
 
 
 
 
  
−
정의
+
'''정의'''
  
−
[[르장드르 다항식]] 의 변형, <math>P_n(x) = \frac{1}{n!} {d^n \over dx^n } \left[ x^{n}(1-x)^n \right]</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
+
[[르장드르 다항식]] 의 변형, <math>P_n(x) = \frac{1}{n!} {d^n \over dx^n } \left[ x^{n}(1-x)^n \right]</math> 을 정의하자. 
  
 
 
 
 
  
−
(정리)
+
 
 +
 
 +
'''보조정리 2'''
  
 
<math>n\geq 1</math> 일 때, n번 미분가능한 함수 <math>f</math>에 대하여 다음이 성립한다.
 
<math>n\geq 1</math> 일 때, n번 미분가능한 함수 <math>f</math>에 대하여 다음이 성립한다.
54번째 줄: 56번째 줄:
  
 
부분적분. [[ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)]] 의 보조정리4 참조. ■
 
부분적분. [[ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)]] 의 보조정리4 참조. ■
 +
 +
 
 +
 +
 
 +
 +
qhw
  
 
 
 
 
63번째 줄: 71번째 줄:
 
π는 무리수, 즉 <math>\pi=a/b</math> 이라고 가정하자. 
 
π는 무리수, 즉 <math>\pi=a/b</math> 이라고 가정하자. 
  
−
<math>\int_0^1x^j \sin \pi x\,dx </math>에 의하여,
+
 
 +
 
 +
<math>\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{A_{n}}{B_{n}}</math> 
  
−
<math>\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{A_{n}}{B_{n}}</math> 는 0이 아닌 유리수가 된다. <math>P_{n}(x)</math>는 정수계수를 갖는 n차 다항식이므로, <math>a^{n+1}</math>을 <math>A_{n}/B_{n}</math>의 양변에 곱하면, 자연수를 얻는다. 
+
는 0이 아닌 유리수가 된다. <math>P_{n}(x)</math>는 정수계수를 갖는 n차 다항식이므로, <math>a^{n+1}</math>을 <math>A_{n}/B_{n}</math>의 양변에 곱하면, 자연수를 얻는다. 
  
 
즉, <math>0<|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx|</math> 는 자연수이다. 한편,
 
즉, <math>0<|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx|</math> 는 자연수이다. 한편,

2011년 1월 1일 (토) 13:26 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

 

 

관찰1

\(\int_0^1 x \sin \pi x\,dx = \frac{1}{\pi}\)

\(\int_0^1x^2 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-4}{\pi^3}\)

\(\int_0^1x^3 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-6}{\pi^3}\)

\(\int_0^1x^4 \sin \pi x\,dx = \frac{48-12 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)

\(\int_0^1x^5 \sin \pi x\,dx = \frac{120-20 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)

\(\int_0^1x^6 \sin \pi x\,dx = \frac{-1440+360\pi^2-30 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)

\(\int_0^1x^7 \sin \pi x\,dx = \frac{-5040+840\pi^2-42 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)

 

보조정리 1

\(\int_0^1x^j \sin \pi x\,dx\) 는 \pi의 (j+1)차 다항식/\pi^{j+1} 꼴로 표현된다.

 

 

정의

르장드르 다항식 의 변형, \(P_n(x) = \frac{1}{n!} {d^n \over dx^n } \left[ x^{n}(1-x)^n \right]\) 을 정의하자. 

 

 

보조정리 2

\(n\geq 1\) 일 때, n번 미분가능한 함수 \(f\)에 대하여 다음이 성립한다.

\(\int_0^1P_n(x)f(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_0^1 x^{n}(1-x)^nf^{(n)}(x)\,dx\).

(증명)

부분적분. ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리) 의 보조정리4 참조. ■

 

 

qhw

 

 

π는 무리수임의 증명

π는 무리수, 즉 \(\pi=a/b\) 이라고 가정하자. 

 

\(\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{A_{n}}{B_{n}}\) 

는 0이 아닌 유리수가 된다. \(P_{n}(x)\)는 정수계수를 갖는 n차 다항식이므로, \(a^{n+1}\)을 \(A_{n}/B_{n}\)의 양변에 곱하면, 자연수를 얻는다. 

즉, \(0<|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx|\) 는 자연수이다. 한편,

\(|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin x\,dx|=|a^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \pi x\,dx|\leq |a^{n+1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\pi^{n} \,dx|\)

우변에 대하여 다음이 성립한다.

\(n \to \infty\) 일 때, \(a^{n+1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\pi^{n} \,dx|\leq a^{n+1}\frac{1}{n!}(\frac{1}{4})^n\pi^n|\to 0\)

따라서 

\(|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx|\) 는 자연수일 수 없다. 모순. 따라서 π는 무리수이다. ■

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

 

 

관련도서

 

 

관련기사

 

 

블로그
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=파이_π는_무리수이다&oldid=20692"