피보나치 수열

간단한 요약

• 정의
  
  • \(F_0=0, F_1=1\)
  • \(F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}\)
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• 잘 알려진 성질들
  
  • 황금비와 많이 관련되어 있음.
  • \(\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.6180339887\cdots\)
     
    
  • \(\lim_{n\to\infty}\frac{F(n+1)}{F(n)}=\varphi\)
  • \( F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2=(-1)^{n}\)
• 위의 성질들을 이용하면, 다음과 같은 식들을 얻을 수 있음.
  \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{F_nF_{n+1}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{F_{n}}{F_{n+1}}-\frac{F_{n-1}}{F_{n}}}=\frac{1}{\varphi}=\varphi-1\)
  \(\prod_{n=2}^{\infty}(1+\frac{(-1)^{n}}{F_n^2})=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_n^2+(-1)^n}{F_n^2}=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_{n-1}}{F_n}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi\)
  

 

 

 

 

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