"해밀턴의 사원수(quarternions)"의 두 판 사이의 차이

2009년 4월 17일 (금) 05:21 판

4원수란 \(a+bi+cj+dk\) 형태의 수이다. 모든 4원수들의 집합을 \(\mathbb{H}\) 로 보통 표현한다.
여기서 \(a,b,c,d\) 는 실수, \(i,j,k\) 는 곱셈에 대하여 다음과 같은 성질을 만족시키는 심볼
- \(i^2 = j^2 = k^2 = -1\)
- \(ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j\)
사원수의 곱셈은 교환법칙을 만족시키지 않는다.

곱셈표는 다음과 같이 읽음

\(\cdot\)	b
a	\(a \cdot b\)

\(\cdot\)	1	-1	i	-i	j	-j	k	-k
1	1	-1	i	-i	j	-j	k	-k
-1	-1	1	-i	i	-j	j	-k	k
i	i	-i	-1	1	k	-k	-j	j
-i	-i	i	1	-1	-k	k	j	-j
j	j	-j	-k	k	-1	1	i	-i
-j	-j	j	k	-k	1	-1	-i	i
k	k	-k	j	-j	-i	i	-1	1
-k	-k	k	-j	j	i	-i	1	-1

단위 사원수 \(q\) 에 대하여, 3차원 벡터\((x,y,z)\) 에 다음과 같이 작용하는 연산을 생각하자.
- \(q(xi+yj+zk)q^{-1}\)
이러한 연산은, 3차원의 회전변환으로 작용한다.

사원수 \(a+b i+c j+d k\) 를 복소행렬 \(\begin{pmatrix}a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix}\) 에 대응시키면 단위사원수와 SU(2) 사이에 isomorphism 을 얻는다.

@@ 144번째 줄: / 144번째 줄: @@
 <h5>3차원 기하학과의 관계</h5>
-*  단위 사원수 <math>q</math> 에 대하여, 3차원 벡터<br>
+*  단위 사원수 <math>q</math> 에 대하여, 3차원 벡터<math>(x,y,z)</math> 에 다음과 같이 작용하는 연산을 생각하자.<br>
 ** <math>q(xi+yj+zk)q^{-1}</math>
-** 3차원의 회전변환이 된다.
+* 이러한 연산은, 3차원의 회전변환으로 작용한다.
@@ 208번째 줄: / 208번째 줄: @@
 * [[3차원 유한회전군의 분류|SO(3) and SU(2) 의 유한부분군]]
 * [[1,2,4,8 과 1,3,7|1,2,4,8 혹은 1,3,7]]
+* Octonions

\(\cdot\)	1	-1	i	-i	j	-j	k	-k
1	1	-1	i	-i	j	-j	k	-k
-1	-1	1	-i	i	-j	j	-k	k
i	i	-i	-1	1	k	-k	-j	j
-i	-i	i	1	-1	-k	k	j	-j
j	j	-j	-k	k	-1	1	i	-i
-j	-j	j	k	-k	1	-1	-i	i
k	k	-k	j	-j	-i	i	-1	1
-k	-k	k	-j	j	i	-i	1	-1

\(\cdot\)	1	-1	i	-i	j	-j	k	-k
1	1	-1	i	-i	j	-j	k	-k
-1	-1	1	-i	i	-j	j	-k	k
i	i	-i	-1	1	k	-k	-j	j
-i	-i	i	1	-1	-k	k	j	-j
j	j	-j	-k	k	-1	1	i	-i
-j	-j	j	k	-k	1	-1	-i	i
k	k	-k	j	-j	-i	i	-1	1
-k	-k	k	-j	j	i	-i	1	-1

\(\cdot\)	1	-1	i	-i	j	-j	k	-k
1	1	-1	i	-i	j	-j	k	-k
-1	-1	1	-i	i	-j	j	-k	k
i	i	-i	-1	1	k	-k	-j	j
-i	-i	i	1	-1	-k	k	j	-j
j	j	-j	-k	k	-1	1	i	-i
-j	-j	j	k	-k	1	-1	-i	i
k	k	-k	j	-j	-i	i	-1	1
-k	-k	k	-j	j	i	-i	1	-1