해밀턴의 사원수(quarternions)

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• 해밀턴의 사원수

 

 

개요

• 복소수는 \(i^2=-1\) 을 만족시키는 수를 가지고 실수를 확장하여 얻어짐.
• 복소수는 2차원의 회전을 공부하는데 유용함.
• 해밀턴은 3차원에서의 회전을 잘 표현할 수 있는 수 체계를 찾으려 하였으나, 오랜 시간의 실패를 경험
• 1843년 마침내 4차원에서 복소수에 대응될만한 수체계를 발견함.
• 4차원 normed division 대수

 

 

정의

• 4원수란 \(a+bi+cj+dk\) 형태의 수(a,b,c,d는 실수) 이다.  모든 4원수들의 집합을 \(\mathbb{H}\) 로 보통 표현한다.
• 여기서 \(a,b,c,d\) 는 실수, \(i,j,k\) 는 곱셈에 대하여 다음과 같은 성질을 만족시키는 심볼
  
  • \(i^2 = j^2 = k^2 = -1\)
  • \(ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j\)
• 사원수의 곱셈은 교환법칙을 만족시키지 않는다.

 

군론과의 관계

• \(\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}\) 는 차수가 8인 군의 구조를 이룸

 

곱셈표는 다음과 같이 읽음

\(\cdot\)	b
a	\(a \cdot b\)

 

 

\(\cdot\)	1	-1	i	-i	j	-j	k	-k
1	1	-1	i	-i	j	-j	k	-k
-1	-1	1	-i	i	-j	j	-k	k
i	i	-i	-1	1	k	-k	-j	j
-i	-i	i	1	-1	-k	k	j	-j
j	j	-j	-k	k	-1	1	i	-i
-j	-j	j	k	-k	1	-1	-i	i
k	k	-k	j	-j	-i	i	-1	1
-k	-k	k	-j	j	i	-i	1	-1

 

 

3차원 기하학과의 관계

• 단위 사원수 \(q\) 에 대하여, 3차원 벡터\((x,y,z)\) 에 다음과 같이 작용하는 연산을 생각하자.
  
  • \(q(xi+yj+zk)q^{-1}\)
• 이러한 연산은, 3차원의 회전변환으로 작용한다.

 

• 사원수 \(a+b i+c j+d k\) 를 복소행렬 \(\begin{pmatrix}a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix}\) 에 대응시키면 단위사원수와 SU(2) 사이에 isomorphism 을 얻는다.

 

 

파울리 행렬과의 관계

\(\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \)

\(\sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} \)

\(\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\)

\(\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = -i\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I\)

 

\(1 \mapsto 1, i \mapsto \sigma_1 \sigma_2, j \mapsto \sigma_3 \sigma_1, k \mapsto \sigma_2 \sigma_3\)

 

 

메모

[[뫼비우스 변환군과 기하학|]]

 

 

관련된 항목들

• 복소수
• 팔원수(octonions)
• SO(3) and SU(2) 의 유한부분군
• 1,2,4,8 과 1,3,7
• 뫼비우스 변환군과 기하학

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/사원수
• http://en.wikipedia.org/wiki/quaternions

• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.proofwiki.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• Hamilton's Discovery of Quaternions
  
  • B. L. van der Waerden, Mathematics Magazine, Vol. 49, No. 5 (Nov., 1976), pp. 227-234
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

관련도서

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관련기사

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