"해밀턴의 사원수(quarternions)"의 두 판 사이의 차이

2012년 8월 26일 (일) 05:21 판

4원수란 \(a+bi+cj+dk\) 형태의 수(a,b,c,d는 실수) 이다.
여기서 \(a,b,c,d\) 는 실수, \(i,j,k\) 는 곱셈에 대하여 다음과 같은 성질을 만족시키는 심볼
- \(i^2 = j^2 = k^2 = -1\)
- \(ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j\)
사원수의 곱셈은 교환법칙을 만족시키지 않는다.
모든 4원수들의 집합을 \(\mathbb{H}\) 로 보통 표현한다.

곱셈표는 다음과 같이 읽음

\(\cdot\)	b
a	\(a \cdot b\)

\(\cdot\)	1	-1	i	-i	j	-j	k	-k
1	1	-1	i	-i	j	-j	k	-k
-1	-1	1	-i	i	-j	j	-k	k
i	i	-i	-1	1	k	-k	-j	j
-i	-i	i	1	-1	-k	k	j	-j
j	j	-j	-k	k	-1	1	i	-i
-j	-j	j	k	-k	1	-1	-i	i
k	k	-k	j	-j	-i	i	-1	1
-k	-k	k	-j	j	i	-i	1	-1

사원수의 곱셈은 3차원 벡터의 내적, 외적과 다음과 같은 관계를 가진다.
사원수 \(a+x_1i+x_2j+x_3k\)를 \(\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\)로 두어 \((a,\mathbf{x)}\)로 쓰자.
\((a+x_1i+x_2j+x_3k)\cdot (b+y_1i+y_2j+y_3k)=(a,\mathbf{x)}\cdot(b,\mathbf{y)}=(ab-\mathbf{x}\cdot\mathbf{y},a\mathbf{y}+b\mathbf{x}+\mathbf{x}\times\mathbf{y})\)
여기서 \(\times\) 는 3차원 벡터의 외적

단위 사원수 \(q\) 에 대하여, 3차원 벡터\((x,y,z)\) 에 다음과 같이 작용하는 연산을 생각하자.
- \(q(xi+yj+zk)q^{-1}\)
이러한 연산은, 3차원의 회전변환으로 작용한다.

사원수 \(a+b i+c j+d k\) 를 복소행렬 \(\begin{pmatrix}a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix}\) 에 대응시키면 단위사원수와 SU(2) 사이에 isomorphism 을 얻는다.

\(\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \)

\(\sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} \)

\(\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\)

\(\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = -i\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I\)

\(1 \mapsto 1, i \mapsto \sigma_1 \sigma_2, j \mapsto \sigma_3 \sigma_1, k \mapsto \sigma_2 \sigma_3\)

[[뫼비우스 변환군과 기하학|]]

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 * http://en.wikipedia.org/wiki/quaternions
-* http://en.wikipedia.org/wiki/
+* http://www.wolframalpha.com/input/?i=quaternions
-* http://www.proofwiki.org/wiki/
-* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
-* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
-** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
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 ** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 ** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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\(\cdot\)	1	-1	i	-i	j	-j	k	-k
1	1	-1	i	-i	j	-j	k	-k
-1	-1	1	-i	i	-j	j	-k	k
i	i	-i	-1	1	k	-k	-j	j
-i	-i	i	1	-1	-k	k	j	-j
j	j	-j	-k	k	-1	1	i	-i
-j	-j	j	k	-k	1	-1	-i	i
k	k	-k	j	-j	-i	i	-1	1
-k	-k	k	-j	j	i	-i	1	-1

\(\cdot\)	1	-1	i	-i	j	-j	k	-k
1	1	-1	i	-i	j	-j	k	-k
-1	-1	1	-i	i	-j	j	-k	k
i	i	-i	-1	1	k	-k	-j	j
-i	-i	i	1	-1	-k	k	j	-j
j	j	-j	-k	k	-1	1	i	-i
-j	-j	j	k	-k	1	-1	-i	i
k	k	-k	j	-j	-i	i	-1	1
-k	-k	k	-j	j	i	-i	1	-1

\(\cdot\)	1	-1	i	-i	j	-j	k	-k
1	1	-1	i	-i	j	-j	k	-k
-1	-1	1	-i	i	-j	j	-k	k
i	i	-i	-1	1	k	-k	-j	j
-i	-i	i	1	-1	-k	k	j	-j
j	j	-j	-k	k	-1	1	i	-i
-j	-j	j	k	-k	1	-1	-i	i
k	k	-k	j	-j	-i	i	-1	1
-k	-k	k	-j	j	i	-i	1	-1