"해밀턴의 사원수(quarternions)"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
|||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | + | ==개요== | |
| − | + | * 복소수는 <math>i^2=-1</math> 을 만족시키는 수를 가지고 실수를 확장하여 얻어짐. | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | * 복소수는 <math>i^2=-1</math> 을 만족시키는 수를 | ||
* 복소수는 2차원의 회전을 공부하는데 유용함. | * 복소수는 2차원의 회전을 공부하는데 유용함. | ||
* 해밀턴은 3차원에서의 회전을 잘 표현할 수 있는 수 체계를 찾으려 하였으나, 오랜 시간의 실패를 경험 | * 해밀턴은 3차원에서의 회전을 잘 표현할 수 있는 수 체계를 찾으려 하였으나, 오랜 시간의 실패를 경험 | ||
| − | * 1843년 마침내 | + | * 1843년 마침내 4차원에서 복소수에 대응될만한 수체계를 발견함. |
* 4차원 normed 나눗셈 대수 | * 4차원 normed 나눗셈 대수 | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==정의== | |
* 4원수란 <math>a+bi+cj+dk</math> 형태의 수(a,b,c,d는 실수) 이다. | * 4원수란 <math>a+bi+cj+dk</math> 형태의 수(a,b,c,d는 실수) 이다. | ||
| 28번째 줄: | 20번째 줄: | ||
* 모든 4원수들의 집합을 <math>\mathbb{H}</math> 로 보통 표현한다. | * 모든 4원수들의 집합을 <math>\mathbb{H}</math> 로 보통 표현한다. | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==군론과의 관계== | |
* <math>\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}</math> 는 차수가 8인 군의 구조를 이룸 | * <math>\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}</math> 는 차수가 8인 군의 구조를 이룸 | ||
| − | + | ||
곱셈표는 다음과 같이 읽음 | 곱셈표는 다음과 같이 읽음 | ||
| 49번째 줄: | 41번째 줄: | ||
|} | |} | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
{| class="dataTable2" style="" | {| class="dataTable2" style="" | ||
| 146번째 줄: | 138번째 줄: | ||
|} | |} | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==외적과의 관계== | |
* 사원수의 곱셈은 3차원 벡터의 내적, 외적과 다음과 같은 관계를 가진다. | * 사원수의 곱셈은 3차원 벡터의 내적, 외적과 다음과 같은 관계를 가진다. | ||
| 157번째 줄: | 149번째 줄: | ||
* 여기서 <math>\times</math> 는 3차원 [[벡터의 외적(cross product)|벡터의 외적]] | * 여기서 <math>\times</math> 는 3차원 [[벡터의 외적(cross product)|벡터의 외적]] | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==3차원 기하학과의 관계== | |
| − | * 단위 | + | * 단위 사원수 <math>q</math> 에 대하여, 3차원 벡터<math>(x,y,z)</math> 에 다음과 같이 작용하는 연산을 생각하자.<br> |
** <math>q(xi+yj+zk)q^{-1}</math> | ** <math>q(xi+yj+zk)q^{-1}</math> | ||
* 이러한 연산은, 3차원의 회전변환으로 작용한다. | * 이러한 연산은, 3차원의 회전변환으로 작용한다. | ||
| − | + | ||
| − | * 사원수 <math>a+b i+c j+d k</math> 를 | + | * 사원수 <math>a+b i+c j+d k</math> 를 복소행렬 <math>\begin{pmatrix}a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix}</math> 에 대응시키면 단위사원수와 SU(2) 사이에 isomorphism 을 얻는다. |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==파울리 행렬과의 관계== | |
<math>\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} </math> | <math>\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} </math> | ||
| 185번째 줄: | 177번째 줄: | ||
<math>\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = -i\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I</math> | <math>\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = -i\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I</math> | ||
| − | + | ||
<math>1 \mapsto 1, i \mapsto \sigma_1 \sigma_2, j \mapsto \sigma_3 \sigma_1, k \mapsto \sigma_2 \sigma_3</math> | <math>1 \mapsto 1, i \mapsto \sigma_1 \sigma_2, j \mapsto \sigma_3 \sigma_1, k \mapsto \sigma_2 \sigma_3</math> | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==메모== | |
| − | [[뫼비우스 변환군과 기하학|]] | + | [[뫼비우스 변환군과 기하학|뫼비우스 변환군과 기하학]] |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==관련된 항목들== | |
* [[복소수]] | * [[복소수]] | ||
| 209번째 줄: | 201번째 줄: | ||
* [[뫼비우스 변환군과 기하학]] | * [[뫼비우스 변환군과 기하학]] | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==사전 형태의 자료== | |
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%AC%EC%9B%90%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/사원수] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%AC%EC%9B%90%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/사원수] | ||
| 220번째 줄: | 212번째 줄: | ||
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=quaternions | * http://www.wolframalpha.com/input/?i=quaternions | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==관련논문== | |
* [http://www.jstor.org/stable/2689449 Hamilton's Discovery of Quaternions]<br> | * [http://www.jstor.org/stable/2689449 Hamilton's Discovery of Quaternions]<br> | ||
| 232번째 줄: | 224번째 줄: | ||
* http://dx.doi.org/ | * http://dx.doi.org/ | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==관련도서== | |
* 도서내검색<br> | * 도서내검색<br> | ||
| 246번째 줄: | 238번째 줄: | ||
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query= | ** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query= | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==관련기사== | |
* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | ||
** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EC%82%AC%EC%9B%90%EC%88%98 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=사원수] | ** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EC%82%AC%EC%9B%90%EC%88%98 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=사원수] | ||
** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%ED%95%B4%EB%B0%80%ED%84%B4 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=해밀턴] | ** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%ED%95%B4%EB%B0%80%ED%84%B4 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=해밀턴] | ||
| − | |||
| − | |||
2012년 10월 22일 (월) 14:06 판
개요
- 복소수는 \(i^2=-1\) 을 만족시키는 수를 가지고 실수를 확장하여 얻어짐.
- 복소수는 2차원의 회전을 공부하는데 유용함.
- 해밀턴은 3차원에서의 회전을 잘 표현할 수 있는 수 체계를 찾으려 하였으나, 오랜 시간의 실패를 경험
- 1843년 마침내 4차원에서 복소수에 대응될만한 수체계를 발견함.
- 4차원 normed 나눗셈 대수
정의
- 4원수란 \(a+bi+cj+dk\) 형태의 수(a,b,c,d는 실수) 이다.
- 여기서 \(a,b,c,d\) 는 실수, \(i,j,k\) 는 곱셈에 대하여 다음과 같은 성질을 만족시키는 심볼
- \(i^2 = j^2 = k^2 = -1\)
- \(ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j\)
- 사원수의 곱셈은 교환법칙을 만족시키지 않는다.
- 모든 4원수들의 집합을 \(\mathbb{H}\) 로 보통 표현한다.
군론과의 관계
- \(\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}\) 는 차수가 8인 군의 구조를 이룸
곱셈표는 다음과 같이 읽음
| \(\cdot\) | b |
|---|---|
| a | \(a \cdot b\) |
| \(\cdot\) | 1 | -1 | i | -i | j | -j | k | -k |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | -1 | i | -i | j | -j | k | -k |
| -1 | -1 | 1 | -i | i | -j | j | -k | k |
| i | i | -i | -1 | 1 | k | -k | -j | j |
| -i | -i | i | 1 | -1 | -k | k | j | -j |
| j | j | -j | -k | k | -1 | 1 | i | -i |
| -j | -j | j | k | -k | 1 | -1 | -i | i |
| k | k | -k | j | -j | -i | i | -1 | 1 |
| -k | -k | k | -j | j | i | -i | 1 | -1 |
외적과의 관계
- 사원수의 곱셈은 3차원 벡터의 내적, 외적과 다음과 같은 관계를 가진다.
- 사원수 \(a+x_1i+x_2j+x_3k\)를 \(\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\)로 두어 \((a,\mathbf{x)}\)로 쓰자.
- \((a+x_1i+x_2j+x_3k)\cdot (b+y_1i+y_2j+y_3k)=(a,\mathbf{x)}\cdot(b,\mathbf{y)}=(ab-\mathbf{x}\cdot\mathbf{y},a\mathbf{y}+b\mathbf{x}+\mathbf{x}\times\mathbf{y})\)
- 여기서 \(\times\) 는 3차원 벡터의 외적
3차원 기하학과의 관계
- 단위 사원수 \(q\) 에 대하여, 3차원 벡터\((x,y,z)\) 에 다음과 같이 작용하는 연산을 생각하자.
- \(q(xi+yj+zk)q^{-1}\)
- 이러한 연산은, 3차원의 회전변환으로 작용한다.
- 사원수 \(a+b i+c j+d k\) 를 복소행렬 \(\begin{pmatrix}a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix}\) 에 대응시키면 단위사원수와 SU(2) 사이에 isomorphism 을 얻는다.
파울리 행렬과의 관계
\(\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \)
\(\sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} \)
\(\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\)
\(\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = -i\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I\)
\(1 \mapsto 1, i \mapsto \sigma_1 \sigma_2, j \mapsto \sigma_3 \sigma_1, k \mapsto \sigma_2 \sigma_3\)
메모
관련된 항목들
사전 형태의 자료
관련논문
- Hamilton's Discovery of Quaternions
- B. L. van der Waerden, Mathematics Magazine, Vol. 49, No. 5 (Nov., 1976), pp. 227-234
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/
관련도서
- 도서내검색
- 도서검색