"후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)"의 두 판 사이의 차이

2009년 8월 24일 (월) 15:22 판

\(\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}\)

\(\zeta'(s,a) =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\)

\(\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}\)

\(\zeta(s,a+1) =\zeta(s,a)-\frac{1}{a^s}\)

\(\zeta'(s,a+1) =\zeta'(s,a)+a^{-s}\log a\)

\(\zeta'(0,a+1) =\zeta'(0,a)+}\log a\)

\(G(a)=e^{\zeta'(0,a)}\)라고 두면, \(G(a+1)=aG(a)\).

\(a>0\) 일때, \(\frac{d^2}{da^2}\log G(a)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+a)^2}> 0\)

또한 \(G(a)\)는 \(a>0\)에서 해석함수이다.

따라서 \(G(a)=G(1)\Gamma(a)\)

\(G(1)=\zeta'(0)\) 이므로,

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 <math>\zeta'(0,a+1) =\zeta'(0,a)+}\log a</math>
-If  <math>G(a)=e^{\zeta'(0,a)}</math>, <math>G(a+1)=aG(a)</math>
+<math>G(a)=e^{\zeta'(0,a)}</math>라고 두면, <math>G(a+1)=aG(a)</math>.
+<math>a>0</math> 일때, <math>\frac{d^2}{da^2}\log G(a)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+a)^2}> 0</math>
+또한 <math>G(a)</math>는 <math>a>0</math>에서 해석함수이다.
+따라서 <math>G(a)=G(1)\Gamma(a)</math>
+<math>G(1)=\zeta'(0)</math> 이므로,