팔찌 위의 모래더미에서 정상밀도와 문턱밀도

앞 글 "밀도 추측은 틀렸다"에서 결과만 말했는데요, 그중에서도 팔찌 그래프 위의 모래더미 모형에서 정상밀도와 문턱밀도를 정확히 구해보겠습니다. 그 전에 앞 글에서 소개한 논문의 최신 버전(v3)과 그 논문의 긴 버전(v2)을 링크해둡니다:

A. Fey et al., Driving Sandpiles to Criticality and Beyond, arXiv:0912.3206v3

A. Fey et al., The approach to criticality in sandpiles, arXiv:1001.3401v2

관련하여 박수찬 박사님과 그라스베르거의 논문도 링크해둡니다.

S.-C. Park, Absence of the link between self-organized criticality and deterministic fixed energy sandpiles, arXiv:1001.3359v1

P. Grassberger and S.S. Manna, Some more sandpiles, J. Phys. France 51, 1077 (1990)

팔찌 하기 전에 1차원 격자부터 봅시다. 이 결과가 있어야 팔찌 결과가 얻어집니다. DS인 경우, 크기가 n인 1차원 격자에서 되돌이 배열(recurrent configuration)은 n+1개 있는데, 모든 자리에 모래알이 1개씩 있는 거 하나랑 빈 자리가 1개만 있는 거 n개입니다. n이 무한히 크다고 하면 정상밀도 ζ_s는 1입니다. FES인 경우, 초기 모래알 밀도 λ가 1보다 작다면 언젠가는(즉 유한한 시간 내에) 배열이 안정해집니다(stabilization). 밀도가 1 이상이면, 예를 들어 모든 자리에 입자가 1개씩 있고 거기에 모래알 1개를 살짝 얹어주면 결코 안정해지지 않습니다. 그래서 문턱밀도 ζ_c는 역시 1입니다. 1차원 격자에서 정상밀도와 문턱밀도는 같습니다.

이제 팔찌 위의 모래더미를 봅시다. 각 자리에서 모래알이 4개 이상이면 양옆 자리에 2개씩 모래알을 보냅니다. 그러므로 이 2개 모래알을 묶어서 짝(pair)으로 생각해도 문제 없습니다. 그런데 각 자리가 모래알을 내보낼 때나 받을 때나 짝으로만 주거니 받거니 하므로 그 자리의 모래알 개수의 홀짝(parity)이 변하지 않습니다. 이걸 제외하고는 1차원 격자의 결과와 다를 게 없습니다. 동시에 이게 있기에 1차원 격자와는 다른 결과가 나옵니다.

DS인 경우, 되돌이 배열은 1차원 격자의 되돌이 배열에 있는 모래알을 각각 2배로 늘린 후, 각 자리에 모래알을 1개 더 넣거나 그대로 두는 가능한 모든 경우에 해당합니다. 예를 들어, 1차원 격자에서 111011ㅇ