첫통과 과정(first-passage process)

passage를 한글로 뭐라고 할까 고민하다 '통과'가 무난해보여서 '첫통과 과정'으로 낙찰했습니다. 시드니 레드너(Sidney Redner)의 <A guide to first-passage processes(첫통과 과정 안내;;)>(2001)를 참고하여 기본개념을 정리하겠습니다.

시각 t=0에 원점(r=0)을 출발한 마구 걷개(random walk)가 시각 t에 위치 r에 있을 확률을 P(r,t)로 나타냅니다. 이 걷개는 r에 처음 왔을 수도 있고 이전에 한 번 왔다가 두번째로 왔을 수도 있고, 이미 여러 번 왔을 수도 있습니다. 이중에서도 '처음 방문/통과'하는 경우가 중요할 때가 있지요. 책의 서문에서 재미있는 예를 듭니다. 당신이 동네 식당에서 애인과 7시에 만나기로 했다고 합시다. 애인은 6시 55분에 왔다가 7시 5분까지 기다린 후 걍 돌아가버립니다. 당신은 식당에 7시 6분에 도착한 후 애인이 기다렸다가 돌아갔다는 사실을 모른채 9시까지 기다리다가 역시 집으로 돌아갑니다. 집에 가서 애인에게 전화를 걸어서 "7시쯤 식당에 갔는데

 

이 마구 걷개가 시각 t에서 위치 r을 '처음으로' 방문/통과할 확률을 F(r,t)라 부르겠습니다.