최적 수송 연결망(optimal transport network)

오늘 세미나에서 발표된 논문 내용을 정리합니다. 올해 1월에 <피지컬 리뷰 레터스(PRL)>에 실린 논문인데, 제목은 "Fluctuations and Redundancy in Optimal Transport Networks"(최적 수송 연결망에서 요동과 중복)입니다. 나뭇잎의 잎맥이나 동물의 혈관, 강줄기 따위에서 물이나 피가 수송되는데 최적화된 연결 구조로는 가지(tree) 구조가 많이 발견된다고 합니다. 가지 구조에서 연결망의 두 지점을 잇는 경로가 유일한데, 이러면 연결망 어딘가가 막힌다면 수송이 제대로 안되겠죠. 그래서 또한 두 지점을 잇는 경로가 여러 가지인 경우, 즉 중복된 경로가 존재하기도 합니다. 중복된 경로는 곧 고리(loop)가 있는 연결망을 뜻합니다.

'최적'이라는 건 어떤 주어진 조건을 전제합니다. 여기서는 연결망을 구성하는데 드는 비용이나 자원이 제약 조건이 됩니다. 간단히 노드가 N개인 2차원 사각 격자를 생각해봅시다. 각 노드 k에 외부로부터 자원(전류) i_k가 투입된다고 합니다. 각 노드에 전류가 들어가기도 하지만 나오기도 합니다. 이 시스템에 들어가는 전류의 양과 나오는 전류의 양이 같다고 가정합니다.

\(\sum_k i_k=0,\ \{i\}=(i_1,\cdots,i_N)\)

노드 k와 l을 잇는 링크 kl의 전도율(conductance)을 κ_kl로 씁시다. 각 노드에는 전위 u가 주어지며 이웃한 노드와의 전위차에 의한 전류와 외부 전류가 평형(즉 키르히호프 법칙)을 이루는 조건을 생각합니다.

\(i_k=\sum_l\kappa_{kl}[u_k(\{i\})-u_l(\{i\})]\)

외부 전류와 전도율이 주어졌다고 가정하면 u들을 구할 수 있고 또한 이로부터 링크 kl에 흐르는 전류 I_kl도 얻어지겠죠. 이제 제약 조건을 봅시다. 연결망의 모든 전도율의 합이 제약 조건입니다. 전도가 잘 되도록 하려면 더 많은 비용이 필요하겠죠. 그런데 그냥 더하지 않고 γ 제곱을 해서 더합니다.

\(\sum_{kl}\kappa_{kl}^\gamma=K^\gamma\)

K는 조절변수입니다. γ는 시스템의 특성에 따른 변수라고 합니다. 여튼 K가 고정되어 있다면 γ에 따라 전도율을 분배하는 방법이 달라지겠죠. 이게 핵심인데 나중에 얘기하겠습니다.

그럼 목적함수는 뭐냐... 전류가 흐르면 저항에 의해 열손실이 생기는데 이걸 최소화하겠다는 겁니다.

\(J=\sum_{kl}\frac{I_{kl}^2}{\kappa_{kl}}\)

외부 전류 {i}는 확률밀도 ρ({i})로부터 랜덤하게 정해진다고 합시다. 특정한 {i}에서 발생하는 열손실은 다음과 같습니다.

\(J(\{i\})=\sum_{kl}\frac{I_{kl}^2(\{i\})}{\kappa_{kl}}\)

가능한 모든 {i}에 대해 평균해주면,

\(\langle J\rangle=\int J(\{i\})\rho(\{i\})d\{i\}\)

입니다. 라그랑지 곱수 방법을 이용하여 목적함수를 다음처럼 씁니다.

\(\Xi=\langle J\rangle-\lambda\sum_{kl}\kappa_{kl}^\gamma\)

양변을 κ_kl로 미분하여 0이 되는 조건을 찾아서 솰라솰라 잘 정리해주면 다음 결과를 얻는다고 합니다.

\(\kappa_{kl}=\frac{\langle I_{kl}^2\rangle^{1/(1+\gamma)}}{ (\sum_{mn}\langle I_{mn}^2\rangle^{\gamma/(1+\gamma)})^{1/\gamma} }K\)

제가 계산해보니 상수도 하나 빠져 있고 부호도 좀 다른 것 같지만;;; 식의 형태는 맞습니다. 그런데 좀 치명적인 문제는 전류 I_kl은 전도율 κ_kl에 의존하는데 Ξ를 전도율로 미분할 때 전류는 상수로 가정했다는 사실입니다. 그래서 논문에서도 이 식을 수치적으로 되풀이(iterate)해서 최종 결과를 얻습니다. 이 식을 보면 K의 절대적인 값은 별로 중요하지 않습니다. 그보다도 γ에 따라 전도율의 분포가 어떻게 될 거냐가 중요해집니다.

정리하면, 외부 전류는 랜덤하게