1차원 이징 모형(Ising model)

이징 모형(Ising model)은 평형통계물리에서 다루는 시스템 중 가장 단순하면서도 중요하며, 또한 정확히 풀리는 모형 중 하나입니다. 1차원 이징 모형이 이징에 의해 1925년에 풀렸고, 2차원 이징 모형은 온사거에 의해 1944년에 풀렸으며, 3차원은 아직 풀리지 않았고, 4차원 이상은 평균장 어림으로 풀린다는 게 알려져 있죠. 이외에도 척도 없는 연결망에서 평균장 어림을 이용하여 풀렸습니다.

이 글에서는 제목에 쓴대로 1차원 이징 모형을 풀어보겠습니다. 플리쉬케(Plischke)와 버거슨(Bergersen)이 쓴 <Equilibrium Statistical Physics> 3판의 6장을 참고했습니다.(라고 쓰고 요약했습니다.로 읽는다;;;)

크기가 N인 1차원 격자의 양 끝이 이어져 있다고 합시다. 이 격자 위의 이징 모형을 나타내는 해밀토니안은 다음과 같습니다.

\(H=-J\sum_{i=1}^N\sigma_i\sigma_{i+1}-h\sum_{i=1}^N\sigma_i,\ \sigma_{N+1}=\sigma_1\)

이징 스핀 사이에는 J라는 상호작용이 있고 각 스핀에는 외부 자기장 h가 균일하게 가해지는 것으로 놓았습니다. 분배함수는 다음처럼 씌어집니다.

\(Z=\sum_{\{\sigma\}}e^{-\beta H}=\sum_{\{\sigma\}} e^{\beta h\sigma_1}e^{K\sigma_1\sigma_2} e^{\beta h\sigma_2}e^{K\sigma_2\sigma_3}\cdots e^{\beta h\sigma_N}e^{K\sigma_N\sigma_1},\ K=\beta J\)

각 스핀 σ는 1 또는 -1의 값을 갖는데, 이걸 파울리 행렬로 나타내겠습니다. 우선 파울리 행렬은 다음과 같습니다.

\(\sigma_x=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix},\ \sigma_y=\begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0\end{pmatrix},\ \sigma_z=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}\)

이제 분배함수의 각 요소를 하나씩 봅니다. 먼저 βh가 있는 요소를 보면 각 스핀이 1 또는 -1이므로 아래처럼 두 경우밖에 없습니다.

\(e^{\beta h\sigma_i}=\left\{ \begin{array}{l} e^{\beta h}=\langle+|e^{\beta h\sigma_z}|+\rangle \\ e^{-\beta h}=\langle-|e^{\beta h\sigma_z}|-\rangle \end{array}\right.\)

그 각각을 위의 오른쪽처럼 파울리 행렬 중 z성분으로 나타냅니다. 이때 +와 -는 각각 스핀이 1인 상태, 스핀이 -1인 상태를 나타냅니다. 헷갈릴 수 있는데요, 맨 왼쪽의 σ_i는 '값'이고 맨 오른쪽의 σ_z는 '행렬'입니다. 그래서 이 행렬에 + 또는 -로 표현된 상태가 앞뒤로 곱해져야 '값'이 되겠죠. 편의상 σ_z가를 지수로 갖는  부분을 V1으로 정의합니다.

\(V_1\equiv e^{\beta h\sigma_z},\ \langle+|V_1|-\rangle=\langle-|V_1|+\rangle=0\)

이제 K가 있는 요소를 봅니다.