이토와 스트라토노비치2

지난 글에서 이어집니다. 좀더 간단한 경우를 생각해봅시다.

\(\frac{dy(t)}{dt}=y(t)\eta(t)\)

사실 이게 원래 부쇼-메자르 모형의 평균장 어림 버전이죠. 이걸 이토 해석(Ito sense에서 sense를 '해석'으로 옮겼는데 적절한지 모름;;;)과 스트라토노비치 해석(이름 길고 키보드 두드리기도 어려움;;;)으로 각각 풀어서 씁니다.

\(y(t+\Delta t)-y(t)=A(y)\Delta t+C\left(\frac{y(t)+y(t+\Delta t)}{2}\right)\int_t^{t+\Delta t}\eta(t')dt'\)

C 의 인수를 보시면 '평균'으로 쓴다는 말을 아시겠죠? 노이즈가 가해지기 전 t에서의 변수값과 가해진 후, 즉 t + Δt에서의 변수값의 평균을 넣었습니다. 그런데 왜 A에는 그걸 이용하지 않느냐... 사실 뭘 넣어도 상관없기 때문이겠죠. 이게 말했듯이 스트라토노비치가 한 방법이고요. 이토의 방법은 좀더 간단히 씌어지겠죠.

\(y(t+\Delta t)-y(t)=A(y)\Delta t+C(y(t))\int_t^{t+\Delta t}\eta(t')dt'\)