거듭제곱 분포의 불균형과 시스템 크기의 관계

N개의 값들이 있다고 합시다. 이 각 값을 w라 부릅니다. 편의상 N을 시스템 크기라 불렀으나 이름이 중요한 건 아니고요. 이 값들이 거듭제곱 분포를 따른다고 합시다. 또는 아래 분포로부터 N의 w를 랜덤하게 뽑는다고 생각합시다.

\(P(w)\sim w^{-\alpha}\)

하지만 값의 개수, 즉 N이 유한하므로 w의 최대값이 무한히 커지지는 못하므로 어떤 절단(cutoff)이 생깁니다. 대략 다음처럼 정해집니다.

\(\int_{w_c}^\infty P(w)dw =N^{-1}\to w_c\sim N^{1/(\alpha-1)}\)

순수한 거듭제곱 분포로부터 N개를 뽑아낸 값들의 분포는 절단이 있는 거듭제곱 분포를 따르겠죠.

\(P(w)\sim w^{-\alpha}\exp[-w/w_c(N)]\)

이 분포를 이용해서 wⁿ의 평균을 구합니다.

\(\langle w^n\rangle =\int w^nP(w)dw\sim N^{(n+1-\alpha)/(\alpha-1)}\)

즉,

\(\langle w\rangle \sim N^{(2-\alpha)/(\alpha-1)},\ \langle w^2\rangle \sim N^{(3-\alpha)/(\alpha-1)}\)

입니다.

다음으로, 불균형(disparity)은 다음 왼쪽처럼 정의됩니다. 그런데 잘 보면 그 다음 식처럼 쓸 수 있고, 이건 분산과 직접 연관되는 양이죠.

\(Y=\sum_{i=1}^N \left[\frac{w_i}{\sum_j w_j}\right]^2 = \frac{1}{N}\frac{\langle w^2\rangle}{\langle w\rangle^2}\)

위에서 구한 N으로 대체하여 정리하면,

\(Y\sim N^0\)

이 나옵니다;;; α가 사라져버렸습니다. ㄷㄷㄷ 이래도 되나;;;