"라그랑지 resolvent"의 두 판 사이의 차이

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* <math>K/F</math> 는 순환체확장
 
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* <math>\text{Gal}(K/F)</math> 는 크기가 n인 갈루아 군
 
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*  charater <math>\chi : \text{Gal}(K/F) \to F</math>와 <math>\theta\in K</math>에 대하여 라그랑지 resolvent를 다음과 같이 정의함<br><math>R(\theta,\chi)=\sum_{g\in G}\chi(g)g(\theta)\in K</math><br>
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*  charater <math>\chi : \text{Gal}(K/F) \to F</math>와 <math>\theta\in K</math>에 대하여 라그랑지 resolvent를 다음과 같이 정의함:<math>R(\theta,\chi)=\sum_{g\in G}\chi(g)g(\theta)\in K</math><br>
 
*  중요한 성질<br>
 
*  중요한 성질<br>
 
** (equivariance) 임의의 <math>g\in G</math> 에 대하여 <math>g(R)=\chi(g^{-1})R</math>
 
** (equivariance) 임의의 <math>g\in G</math> 에 대하여 <math>g(R)=\chi(g^{-1})R</math>
 
** 임의의 <math>g\in G</math> 에 대하여 <math>g(R^n)=R^n</math>. 따라서 <math>R^n\in F</math>
 
** 임의의 <math>g\in G</math> 에 대하여 <math>g(R^n)=R^n</math>. 따라서 <math>R^n\in F</math>
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* <math>\chi</math> 가 character group 의 생성원인 경우,<br><math>\theta=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}R(\theta,\chi^{i})</math><br>
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* <math>\chi</math> 가 character group 의 생성원인 경우,:<math>\theta=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}R(\theta,\chi^{i})</math><br>
 
* 이로부터 <math>\theta\in K</math> 를 F의 원소의 radical 들의 합으로 표현할 수 있음을 안다
 
* 이로부터 <math>\theta\in K</math> 를 F의 원소의 radical 들의 합으로 표현할 수 있음을 안다
  

2013년 1월 12일 (토) 10:30 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

  • 다음과 같은 곳에서 등장
  • \(\chi\)-weighted average over the Galois orbit of \(\theta\)

 

 

정의와 주요 성질

  • \(K/F\) 는 순환체확장
  • \(\text{Gal}(K/F)\) 는 크기가 n인 갈루아 군
  • charater \(\chi : \text{Gal}(K/F) \to F\)와 \(\theta\in K\)에 대하여 라그랑지 resolvent를 다음과 같이 정의함\[R(\theta,\chi)=\sum_{g\in G}\chi(g)g(\theta)\in K\]
  • 중요한 성질
    • (equivariance) 임의의 \(g\in G\) 에 대하여 \(g(R)=\chi(g^{-1})R\)
    • 임의의 \(g\in G\) 에 대하여 \(g(R^n)=R^n\). 따라서 \(R^n\in F\)
  • \(\chi\) 가 character group 의 생성원인 경우,\[\theta=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}R(\theta,\chi^{i})\]
  • 이로부터 \(\theta\in K\) 를 F의 원소의 radical 들의 합으로 표현할 수 있음을 안다

 

 

가우스 합의 예

\(a=1\)이고 \(\chi(t)=$\left(\frac{t}{p}\right)\) 일 때, 가우스합은 다음과 같이 주어짐

\(g_1(\chi) := \sum_{a \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{a}{p}\right)e^{2 \pi i a/p}=\sum_{a \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a}=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a}\)

 

 

순환 체확장에서의 응용

\(F\)가 primitive n-th root of unity \(}\zeta_n\)를 포함하는 체

\(K\)가 F의 순환체확장이면, 적당한 원소 \(a\in F\) 가 존재하여, \(K= F(a)\)와 \(a^n\in F\) 를 만족시킨다.

\(\text{Gal}(K/F)\) 가 \(\sigma\)에 의하여 생성되는 순환군이라 하자.

\(K\)에 정의된 \(F\)-선형사상 \(\tau=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i\)는 \(\{\sigma^i\}\)의 선형독립성에 의하여 0이 아님을 알 수 있고, 따라서 \(\tau(b)\in K\neq 0 \) 인 \(b\in K\)가 존재한다. 

\(a=\tau(b)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)\)  로 정의되는 수가 중요한 역할을 한다.

  \(\sigma(a)=\zeta_n^{-1}a\)  임을 다음과 같이 보일 수 있다.

 \(\sigma(a)=\sigma\left(\tau(b)\right)=\sigma\left(\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)\right)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^{i+1}\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}a\)

 

 

 

 

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