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| − | * 라플라시안 | + | * 라플라시안:<math>\Delta f=\nabla_i \nabla^i f =\frac{1}{\sqrt{\det g}} \frac{\partial }{\partial x^j}\left(g^{jk}\sqrt{\det g}\frac{\partial f}{\partial x^k}\right) = g^{jk}\frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^k} + \frac{\partial g^{jk}}{\partial x^j} \frac{\partial f}{\partial x^k} + \frac12 g^{jk}g^{il}\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}\frac{\partial f}{\partial x^k}</math><br> |
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| − | * <math>F=0</math>인 경우 | + | * <math>F=0</math>인 경우:<math>\Delta f=\frac{1}{\sqrt{EG}}\left( \frac{\partial }{\partial x^1}\left(\sqrt{\frac{G}{E}}\frac{\partial f}{\partial x^1}\right)+\frac{\partial }{\partial x^2}\left(\sqrt{\frac{E}{G}}\frac{\partial f}{\partial x^2}\right)\right)</math><br> |
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2013년 1월 12일 (토) 10:30 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 유클리드 공간에 정의된 미분연산자
- 더 일반적으로 리만다양체 위에서 정의할 수 있으며, 메트릭 텐서를 이용하여 쓸 수 있음 (이 경우 라플라스-벨트라미 연산자로 불리기도 함)
- 미분형식에 대한 라플라시안 연산자로 일반화되며, 미분다양체의 드람 코호몰로지 이론에서 중요한 역할을 함
- 컴팩트 리만다양체에서 정의되는 라플라시안의 고유값을 이해하는 문제는 수학적으로 중요
2차원 유클리드 공간
- 라플라시안 연산자는 다음과 같이 정의됨\[\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\]
리만다양체의 메트릭 텐서를 이용한 표현
- 리만다양체의 메트릭 텐서가 \(g_{ij}\)로 주어지는 경우
- \((g^{ij})=(g_{ij})^{-1}\)
- 라플라시안\[\Delta f=\nabla_i \nabla^i f =\frac{1}{\sqrt{\det g}} \frac{\partial }{\partial x^j}\left(g^{jk}\sqrt{\det g}\frac{\partial f}{\partial x^k}\right) = g^{jk}\frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^k} + \frac{\partial g^{jk}}{\partial x^j} \frac{\partial f}{\partial x^k} + \frac12 g^{jk}g^{il}\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}\frac{\partial f}{\partial x^k}\]
- 곡면의 경우 \(E=g_{11}\), \(F=g_{12}=g_{21}\), \(G=g_{22}\)
- \(F=0\)인 경우\[\Delta f=\frac{1}{\sqrt{EG}}\left( \frac{\partial }{\partial x^1}\left(\sqrt{\frac{G}{E}}\frac{\partial f}{\partial x^1}\right)+\frac{\partial }{\partial x^2}\left(\sqrt{\frac{E}{G}}\frac{\partial f}{\partial x^2}\right)\right)\]
극좌표계의 경우
- 극좌표계
- \(E=1\), \(G=0\), \(F=r^2\)\[\sqrt{EG}=r\]\[\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}={1 \over r} {\partial f \over \partial r}+ {\partial^2 f \over \partial r^2}+{1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}\]
구면 라플라시안
- 구면(sphere)
- \(E=r^2\sin^2\theta\), \(F=0\), \(G=r^2\)\[\Delta f ={1 \over r^2 }({\partial^2 f \over \partial \theta^2} +\cot\theta {\partial f \over \partial \theta} + \frac{1}{ \sin^2 \theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2})\]
3차원 구면좌표계의 경우
- 구면좌표계\[\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}\]
라플라시안의 성질
- elliptic
- self-adjoint
- $-\Delta$ 는 positive
역사
메모
- 민코프스키 메트릭과 달랑베르시안
- invariant differential operator http://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_differential_operator
- http://mathoverflow.net/questions/64017/eigenvalues-of-laplacian-beltrami-operator
- http://mathoverflow.net/questions/85481/the-first-eigenvalue-of-the-laplacian-for-complex-projective-space
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxOWNhYWIxNmEtN2VlMC00N2ZkLThlMzMtODgzZjg5ODIxMmI5&sort=name&layout=list&num=50
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/라플라스_연산자
- http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operator
- http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_formulas_in_Riemannian_geometry
- http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operators_in_differential_geometry
- http://mathworld.wolfram.com/Laplacian.html
- NIST Digital Library of Mathematical Functions