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| − | * 로바체프스키 함수의 정의 | + | * 로바체프스키 함수의 정의:<math>\Lambda(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin t| \,dt=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (2n\theta)}{n^2}</math><br> 로바체프스키 함수는 [[쌍곡기하학]]의 연구에서 등장하였으며, 3차원 쌍곡다양체의 부피를 표현하는데 유용하다<br> |
| − | * [[클라우센 함수(Clausen function)]] 와의 관계 | + | * [[클라우센 함수(Clausen function)]] 와의 관계:<math>Cl_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)</math><br> |
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* [[다이로그 함수(dilogarithm)|dilogarithm 함수]]는 복소수 <math>|z|<1</math>에 대하여 다음과 같이 정의됨 | * [[다이로그 함수(dilogarithm)|dilogarithm 함수]]는 복소수 <math>|z|<1</math>에 대하여 다음과 같이 정의됨 | ||
| − | * <math>\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}</math> | + | * <math>\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}</math>:<math>|z|\leq 1</math> 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, <math>|z|\leq 1</math>에서 연속<br> |
* <math>z=e^{2i\theta}</math>, <math>0 \leq \theta \leq \pi</math> 일 때, :<math>\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}</math> | * <math>z=e^{2i\theta}</math>, <math>0 \leq \theta \leq \pi</math> 일 때, :<math>\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}</math> | ||
* 따라서 <math>0 \leq \theta \leq \pi</math> 일 때, :<math>\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}=2\Lambda(\theta)</math> | * 따라서 <math>0 \leq \theta \leq \pi</math> 일 때, :<math>\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}=2\Lambda(\theta)</math> | ||
2013년 1월 12일 (토) 09:33 판
개요
- 다이로그 함수(dilogarithm )의 변종으로 이해할 수 있다
- 로바체프스키 함수의 정의\[\Lambda(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin t| \,dt=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (2n\theta)}{n^2}\]
로바체프스키 함수는 쌍곡기하학의 연구에서 등장하였으며, 3차원 쌍곡다양체의 부피를 표현하는데 유용하다 - 클라우센 함수(Clausen function) 와의 관계\[Cl_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)\]
dilogarithm 함수와의 관계
- dilogarithm 함수는 복소수 \(|z|<1\)에 대하여 다음과 같이 정의됨
- \(\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\)\[|z|\leq 1\] 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속
- \(z=e^{2i\theta}\), \(0 \leq \theta \leq \pi\) 일 때, \[\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}\]
- 따라서 \(0 \leq \theta \leq \pi\) 일 때, \[\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}=2\Lambda(\theta)\]
그래프
- \(\Lambda(\theta)\)는 기함수이고, \(\pi\) 를 주기로 가짐
- \(\theta=\pi/6+n\pi\)일 때 최대값을 가진다
멱급수 전개
\(0 < \theta <\pi\) 일 때,
\(\Lambda(\theta)=\theta-\theta \log(2\theta)+2\theta\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|B_{2n}|}{2n}\frac{(2\theta)^{2n}}{(2n+1)!}\)
\(B_{2n}\)은 베르누이 수
덧셈공식
- 정리 \(\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})\)
- (증명)
\(2\sin n\theta =\prod_{k=0}^{n-1}2\sin(\theta+\frac{k\pi}{n})\)
절대값에 로그를 취하여 양변을 적분하면, 적당한 상수 C에 대하여,
\(\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C\)
를 얻는다.
\(n=2\) 일때,
\(\frac{1}{2}\Lambda(2\theta)=\Lambda(\theta)+\Lambda(\theta+\frac{\pi}{2})+C\)
\(\theta=\frac{\pi}{2}\) 이면,
\(\frac{1}{2}\Lambda(\pi)=\Lambda(\frac{\pi}{2})+\Lambda(\pi)+C\)
\(\theta=0\) 이면,
\(\frac{1}{2}\Lambda(0)=\Lambda(0)+\Lambda(\frac{\pi}{2})+C\)
두 식으로부터
\(\Lambda(\pi)=\Lambda(0)\)을 얻는다.
한편, \(\Lambda'(\theta)=- \ln |2\sin t|\) 는 \(\pi\) 를 주기로 가지므로, \(\Lambda(\theta)\) 역시 \(\pi\)를 주기로 갖는 함수가 된다.
\(\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C\) 에서 기함수의 성질을 이용하면, \(C=0\)이 된다.
3차원 쌍곡기하학과의 관계
- 이면각이 \(\alpha, \beta, \gamma\)로 주어진 ideal tetrahedron \(T\)에 대하여, 다음이 성립
- \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\)
- \(\operatorname{Vol}(T)=\Lambda(\alpha)+\Lambda(\beta)+\Lambda(\gamma)\)
- \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\)
- 이면각 (dihedral angles) 한 점에서 만나는 세 면이 각각 이루는 각
special values
- $2\Lambda(\frac{\pi}{6})=Cl_2(\frac{\pi}{3})$ http://mathworld.wolfram.com/GiesekingsConstant.html
- $6\Lambda(\frac{\pi}{3})=2.0298832128193072500\cdots$ 는 figure-eight 매듭 K에 의해 정의되는 3차원 쌍곡다양체 $S^3-K$의 부피이다
역사
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMWQ5NGY3YWEtYTQ3MC00YzE5LTgwOWYtZmYxMDc1NzcwOGM1&sort=name&layout=list&num=50
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
수학용어번역
관련논문
- The Newest Inductee in the Number Hall of Fame
- Colin C. Adams, Mathematics Magazine, Vol. 71, No. 5 (Dec., 1998), pp. 341-349
- Hyperbolic geometry: The first 150 years
- John W. Milnor, Journal: Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982), 9-24.
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://dx.doi.org/
관련도서
- Foundations of hyperbolic manifolds
- John G. Ratcliffe
- Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century.
- Borwein, J. and Bailey, D., Wellesley, MA: A K Peters, pp. 89-90, 2003.
- The Geometry and Topology of Three-Manifolds
- W. Thurston
- Chapter 7 (pdf)