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* [[모든 자연수의 합과 리만제타함수]]<br><math>\zeta(-1)= -\frac{1}{12}</math><br><math>\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 +  \cdots = -\frac{1}{12}</math><br>
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* [[모든 자연수의 합과 리만제타함수]]:<math>\zeta(-1)= -\frac{1}{12}</math>:<math>\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 +  \cdots = -\frac{1}{12}</math><br>
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*  12 = cusp form이 가질수 있는 가장 작은 weight<br><math>\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2 \cdots</math><br> 는 weight 12 cusp form<br>[[판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)]]<br>
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*  12 = cusp form이 가질수 있는 가장 작은 weight:<math>\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2 \cdots</math><br> 는 weight 12 cusp form<br>[[판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)]]<br>
 
* <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})_{ab}=C_{12}</math>
 
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*  오비폴드 오일러 표수<br><math>\chi(SL(2,\mathbb{Z}))=-\frac{1}{12}</math><br>
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*  오비폴드 오일러 표수:<math>\chi(SL(2,\mathbb{Z}))=-\frac{1}{12}</math><br>
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* [[라마누잔과 1729]]<br><math>1729=12^3+1^3=10^3+9^3</math><br>
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* [[스털링 공식]]<br><math>  n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n  \left(    1    +{1\over12n}    +{1\over288n^2}    -{139\over51840n^3}    -{571\over2488320n^4}    + \cdots  \right)</math><br>
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* [[스털링 공식]]:<math>  n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n  \left(    1    +{1\over12n}    +{1\over288n^2}    -{139\over51840n^3}    -{571\over2488320n^4}    + \cdots  \right)</math><br>
  
 
   
 
   
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* [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]]<br><math>E_{2}(\tau) = 1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n}</math><br>
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* [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]]:<math>E_{2}(\tau) = 1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n}</math><br>
 
* 리치(Leech)격자의 차원
 
* 리치(Leech)격자의 차원
 
* 돌발성 단순군 M24
 
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* If we take a double cover Mp2(Z) of SL2(Z), we have (Mp2(Z))ab = Z/24.
 
* If we take a double cover Mp2(Z) of SL2(Z), we have (Mp2(Z))ab = Z/24.
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* [[\[Zeta](2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]<br><math>\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{(2\pi)^2}{24}</math><br>
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* [[\[Zeta](2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]:<math>\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{(2\pi)^2}{24}</math><br>
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* [[분할수의 생성함수(오일러 함수)]]<br><math>z=q</math>,<math>q=e^{-\epsilon}</math> 으로 두면 <math>\epsilon\sim 0</math> 일 때, <math>1-q\sim \epsilon</math><br><math>\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})</math><br><math>\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12\epsilon}+\frac{\epsilon}{24})</math><br>
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* [[분할수의 생성함수(오일러 함수)]]:<math>z=q</math>,<math>q=e^{-\epsilon}</math> 으로 두면 <math>\epsilon\sim 0</math> 일 때, <math>1-q\sim \epsilon</math>:<math>\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})</math>:<math>\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12\epsilon}+\frac{\epsilon}{24})</math><br>
 
*  26=24+2는 보존 끈이론의 차원<br>
 
*  26=24+2는 보존 끈이론의 차원<br>
 
**  24는 transverse dimensions
 
**  24는 transverse dimensions

2013년 1월 12일 (토) 09:55 판

개요



숫자 12

  • 스털링 공식\[ n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n \left( 1 +{1\over12n} +{1\over288n^2} -{139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4} + \cdots \right)\]



숫자 24

  • 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)\[E_{2}(\tau) = 1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n}\]
  • 리치(Leech)격자의 차원
  • 돌발성 단순군 M24
  • If we take a double cover Mp2(Z) of SL2(Z), we have (Mp2(Z))ab = Z/24.
  • [[\[Zeta](2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]\[\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{(2\pi)^2}{24}\]
  • 분할수의 생성함수(오일러 함수)\[z=q\],\(q=e^{-\epsilon}\) 으로 두면 \(\epsilon\sim 0\) 일 때, \(1-q\sim \epsilon\)\[\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})\]\[\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12\epsilon}+\frac{\epsilon}{24})\]
  • 26=24+2는 보존 끈이론의 차원



메모




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