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*  해밀토니안<br><math>H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}q^2</math><br>
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*  해밀턴 방정식<br><math>\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}</math><br><math>\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q</math><br>
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==양자조화진동자==
 
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*  위치 연산자와 운동량 연산자<br><math>[\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar</math><br><math>\hat p = - i \hbar {\partial \over \partial x}</math><br>
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*  위치 연산자와 운동량 연산자:<math>[\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar</math>:<math>\hat p = - i \hbar {\partial \over \partial x}</math><br>
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*  해밀토니안<br><math>\hat H(\hat p,\hat x) = \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2=- \frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2</math><br><math>\hat H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)=\hbar \omega \left(a a^{\dagger }-\frac{1}{2}\right)</math><br>
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*  해밀토니안:<math>\hat H(\hat p,\hat x) = \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2=- \frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2</math>:<math>\hat H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)=\hbar \omega \left(a a^{\dagger }-\frac{1}{2}\right)</math><br>
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*  사다리 연산자(ladder operator)<br><math>a =\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\hat x + {i \over m \omega} \hat p \right)</math><br><math>a^{\dagger} =\sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( \hat x - {i \over m \omega} \hat p \right)</math><br>
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*  사다리 연산자(ladder operator):<math>a =\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\hat x + {i \over m \omega} \hat p \right)</math>:<math>a^{\dagger} =\sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( \hat x - {i \over m \omega} \hat p \right)</math><br>
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*  Commutation relation<br><math>\left[a , a^{\dagger} \right] = 1</math><br><math>\left[ H, a \right]= - \hbar \omega a</math><br><math>\left[ H, a^\dagger \right] =  \hbar \omega a^\dagger</math><br>
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*  Commutation relation:<math>\left[a , a^{\dagger} \right] = 1</math>:<math>\left[ H, a \right]= - \hbar \omega a</math>:<math>\left[ H, a^\dagger \right] =  \hbar \omega a^\dagger</math><br>
  
 
 
 
 
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* [[슈뢰딩거 방정식]]
 
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*  위치에너지가 t에 의존하지 않으므로 time independent equation 을 다음과 같이 쓸 수 있다<br><math>E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2m}{\partial^2 \psi_{E} \over \partial x^2} + V(x)\psi_{E}</math><br><math>V(x)=\frac{k}{2}x^2=\frac{1}{2}m \omega^2x^2</math><br>
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*  위치에너지가 t에 의존하지 않으므로 time independent equation 을 다음과 같이 쓸 수 있다:<math>E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2m}{\partial^2 \psi_{E} \over \partial x^2} + V(x)\psi_{E}</math>:<math>V(x)=\frac{k}{2}x^2=\frac{1}{2}m \omega^2x^2</math><br>
 
* energy eigenstate의 파동함수는 <math>\psi(t,x)=e^{-iEt/\hbar}\psi_{E}(x)</math> 형태로 쓸 수 있다
 
* energy eigenstate의 파동함수는 <math>\psi(t,x)=e^{-iEt/\hbar}\psi_{E}(x)</math> 형태로 쓸 수 있다
 
* http://www.colby.edu/chemistry/PChem/notes/Hermite.pdf
 
* http://www.colby.edu/chemistry/PChem/notes/Hermite.pdf

2013년 1월 12일 (토) 10:57 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

 

고전 역학에서의 조화진동자

  • 질량 m, frequency \(\omega\) 인 조화진동자
  • 해밀토니안\[H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}q^2\]
  • 해밀턴 방정식\[\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\]\[\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q\]
  • 운동방정식\[\ddot{x}=-\omega^{2} x\] 즉 \(\ddot{x}+\omega^{2} x=0\)

 

 

양자조화진동자

  • 위치 연산자와 운동량 연산자\[[\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar\]\[\hat p = - i \hbar {\partial \over \partial x}\]
  • 해밀토니안\[\hat H(\hat p,\hat x) = \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2=- \frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2\]\[\hat H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)=\hbar \omega \left(a a^{\dagger }-\frac{1}{2}\right)\]
  • 사다리 연산자(ladder operator)\[a =\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\hat x + {i \over m \omega} \hat p \right)\]\[a^{\dagger} =\sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( \hat x - {i \over m \omega} \hat p \right)\]
  • Commutation relation\[\left[a , a^{\dagger} \right] = 1\]\[\left[ H, a \right]= - \hbar \omega a\]\[\left[ H, a^\dagger \right] = \hbar \omega a^\dagger\]

 

 

슈뢰딩거 방정식

 

 

energy  eigenstates

  • \(\hbar=1\) 이라 가정하자
  • a harmonic oscillator that vibrates with frequency \(\omega\) can have energy \(\frac{\omega}{2}, (1 +\frac{1}{2})\omega, (2 +\frac{1}{2})\omega,(3 +\frac{1}{2})\omega,\cdots\)
  • 바닥 상태의 에너지
    • lowest energy state
    • \(\omega/2\)

 

 

 

 

역사

 

 

 

메모

  • “The career of a young theoretical physicist consists of treating the harmonic oscillator in ever-increasing levels of abstraction.” - Sidney Coleman
  • Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

 

수학용어번역

 

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 


 

 

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