"조화다항식(harmonic polynomial)"의 두 판 사이의 차이

2013년 1월 12일 (토) 10:17 판

\(\begin{array}{l} x^2-y^2 \\ x y \\ x z \\ y z \\ y^2-z^2 \end{array}\)

\(\begin{array}{l} -3 x^2 z+z^3 \\ -x^2 y+y z^2 \\ -x^3+3 x z^2 \\ -x^2 z+y^2 z \\ x y z \\ -3 x^2 y+y^3 \\ -x^3+3 x y^2 \end{array}\)

조화다항식을 단위구면에서 정의된 함수로 볼 때, 구면조화함수(spherical harmonics) 를 얻는다
예
- 2차인 조화함수 \(-x^2+2 i x y+y^2\)
- 단위구면 (구면좌표계 참조) \(x = \sin (\theta ) \cos (\phi ),y= \sin (\theta ) \sin (\phi ),z= \cos (\theta )\)
- \(\sin ^2(\theta ) (-\cos (2 \phi )+i \sin (2 \phi ))=-e^{-2 i \phi } \sin ^2(\theta )\)는 \(Y_{2}^{-2}(\theta,\phi)\) 의 상수배이다

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 * 아래에서는 세 변수의 경우를 다룸
 * <math>P^{(l)}</math> : R^3에서 차수가 l인 [[동차다항식(Homogeneous polynomial)|동차다항식]]이 이루는 벡터공간
-* [[라플라시안(Laplacian)]]<br><math>\Delta : P^{(l)} \to P^{(l-2)}</math><br>
+* [[라플라시안(Laplacian)]]:<math>\Delta : P^{(l)} \to P^{(l-2)}</math><br>
 * <math>\ker \Delta = H^{(l)}</math> 를 R^3의 l차 조화다항식이라 한다
 * 조화다항식의 정의역을 단위구면 <math>S^2</math>에 제한할 때, [[구면조화함수(spherical harmonics)]] 를 얻는다