"1차원 이징 모형(Ising model)"의 두 판 사이의 차이
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이징 모형(Ising model)은 평형통계물리에서 다루는 시스템 중 가장 단순하면서도 중요하며, 또한 정확히 풀리는 모형 중 하나입니다. 1차원 이징 모형이 이징에 의해 1925년에 풀렸고, 2차원 이징 모형은 온사거에 의해 1944년에 풀렸으며, 3차원은 아직 풀리지 않았고, 4차원 이상은 평균장 어림으로 풀린다는 게 알려져 있죠. 이외에도 척도 없는 연결망에서 평균장 어림을 이용하여 풀렸습니다. | 이징 모형(Ising model)은 평형통계물리에서 다루는 시스템 중 가장 단순하면서도 중요하며, 또한 정확히 풀리는 모형 중 하나입니다. 1차원 이징 모형이 이징에 의해 1925년에 풀렸고, 2차원 이징 모형은 온사거에 의해 1944년에 풀렸으며, 3차원은 아직 풀리지 않았고, 4차원 이상은 평균장 어림으로 풀린다는 게 알려져 있죠. 이외에도 척도 없는 연결망에서 평균장 어림을 이용하여 풀렸습니다. | ||
이 글에서는 제목에 쓴대로 1차원 이징 모형을 풀어보겠습니다. 플리쉬케(Plischke)와 버거슨(Bergersen)이 쓴 <Equilibrium Statistical Physics> 3판의 6장을 참고했습니다.(라고 쓰고 요약했습니다.로 읽는다;;;) | 이 글에서는 제목에 쓴대로 1차원 이징 모형을 풀어보겠습니다. 플리쉬케(Plischke)와 버거슨(Bergersen)이 쓴 <Equilibrium Statistical Physics> 3판의 6장을 참고했습니다.(라고 쓰고 요약했습니다.로 읽는다;;;) | ||
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| + | ==해밀토니안과 분배함수== | ||
크기가 N인 1차원 격자의 양 끝이 이어져 있다고 합시다. 이 격자 위의 이징 모형을 나타내는 해밀토니안은 다음과 같습니다. | 크기가 N인 1차원 격자의 양 끝이 이어져 있다고 합시다. 이 격자 위의 이징 모형을 나타내는 해밀토니안은 다음과 같습니다. | ||
| − | + | :<math>H=-J\sum_{i=1}^N\sigma_i\sigma_{i+1}-h\sum_{i=1}^N\sigma_i,\ \sigma_{N+1}=\sigma_1</math> | |
| − | <math>H=-J\sum_{i=1}^N\sigma_i\sigma_{i+1}-h\sum_{i=1}^N\sigma_i,\ \sigma_{N+1}=\sigma_1</math> | ||
이징 스핀 사이에는 J라는 상호작용이 있고 각 스핀에는 외부 자기장 h가 균일하게 가해지는 것으로 놓았습니다. 분배함수는 다음처럼 씌어집니다. | 이징 스핀 사이에는 J라는 상호작용이 있고 각 스핀에는 외부 자기장 h가 균일하게 가해지는 것으로 놓았습니다. 분배함수는 다음처럼 씌어집니다. | ||
| + | :<math>Z=\sum_{\{\sigma\}}e^{-\beta H}=\sum_{\{\sigma\}} e^{\beta h\sigma_1}e^{K\sigma_1\sigma_2} e^{\beta h\sigma_2}e^{K\sigma_2\sigma_3}\cdots e^{\beta h\sigma_N}e^{K\sigma_N\sigma_1},\ K=\beta J</math> | ||
| − | + | 각 스핀 σ는 1 또는 -1의 값을 갖는데, 이걸 파울리 행렬로 나타내겠습니다. 우선 [[파울리 행렬]]은 다음과 같습니다. | |
| − | + | :<math>\sigma_x=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix},\ \sigma_y=\begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0\end{pmatrix},\ \sigma_z=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}</math> | |
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| − | <math>e^{\beta h\sigma_i}=\left\{ \begin{array}{lã
£} e^{\beta h}=\langle+|e^{\beta h\sigma_z}|+\rangle & \textrm{if}\ \sigma_i=1 \\ e^{-\beta h}=\langle-|e^{\beta h\sigma_z}|-\rangle & \textrm{if}\ \sigma_i=-1 \end{array}\right.</math> | + | ==전달행렬== |
| + | 이제 분배함수의 각 요소를 하나씩 봅니다. 먼저 $\beta h$가 있는 요소를 보면 각 스핀이 1 또는 -1이므로 아래처럼 두 경우밖에 없습니다. | ||
| + | :<math>e^{\beta h\sigma_i}=\left\{ \begin{array}{lã
£} e^{\beta h}=\langle+|e^{\beta h\sigma_z}|+\rangle & \textrm{if}\ \sigma_i=1 \\ e^{-\beta h}=\langle-|e^{\beta h\sigma_z}|-\rangle & \textrm{if}\ \sigma_i=-1 \end{array}\right.</math> | ||
그 각각을 위의 오른쪽처럼 파울리 행렬 중 z성분으로 나타냅니다. 이때 +와 -는 각각 스핀이 1인 상태, 스핀이 -1인 상태를 나타냅니다. 헷갈릴 수 있는데요, 맨 왼쪽의 σ<sub>i</sub>는 '값'이고 맨 오른쪽의 σ<sub>z</sub>는 '행렬'입니다. 그래서 이 행렬에 + 또는 -로 표현된 상태가 앞뒤로 곱해져야 '값'이 되겠죠. 편의상 σ<sub>z</sub>를 지수로 갖는 부분을 V<sub>1</sub>로 정의합니다. | 그 각각을 위의 오른쪽처럼 파울리 행렬 중 z성분으로 나타냅니다. 이때 +와 -는 각각 스핀이 1인 상태, 스핀이 -1인 상태를 나타냅니다. 헷갈릴 수 있는데요, 맨 왼쪽의 σ<sub>i</sub>는 '값'이고 맨 오른쪽의 σ<sub>z</sub>는 '행렬'입니다. 그래서 이 행렬에 + 또는 -로 표현된 상태가 앞뒤로 곱해져야 '값'이 되겠죠. 편의상 σ<sub>z</sub>를 지수로 갖는 부분을 V<sub>1</sub>로 정의합니다. | ||
| − | + | :<math>V_1\equiv e^{\beta h\sigma_z}=\begin{pmatrix} e^{\beta h} & 0 \\ 0 & e^{-\beta h} \end{pmatrix},\ \langle+|V_1|-\rangle=\langle-|V_1|+\rangle=0</math> | |
| − | <math>V_1\equiv e^{\beta h\sigma_z}=\begin{pmatrix} e^{\beta h} & 0 \\ 0 & e^{-\beta h} \end{pmatrix},\ \langle+|V_1|-\rangle=\langle-|V_1|+\rangle=0</math> | ||
이제 K가 있는 요소를 봅니다. 이 요소의 값은 이웃한 두 스핀 값이 같으냐 다르냐에만 의존합니다. | 이제 K가 있는 요소를 봅니다. 이 요소의 값은 이웃한 두 스핀 값이 같으냐 다르냐에만 의존합니다. | ||
| − | + | :<math>e^{K\sigma_i\sigma_{i+1}}=\left\{ \begin{array}{ll} e^{K}=\langle+|V_2|+\rangle=\langle-|V_2|-\rangle & \textrm{if}\ \sigma_i=\sigma_{i+1} \\ e^{-K}=\langle+|V_2|-\rangle=\langle-|V_2|+\rangle & \textrm{if}\ \sigma_i\neq \sigma_{i+1} \end{array}\right.</math> | |
| − | <math>e^{K\sigma_i\sigma_{i+1}}=\left\{ \begin{array}{ll} e^{K}=\langle+|V_2|+\rangle=\langle-|V_2|-\rangle & \textrm{if}\ \sigma_i=\sigma_{i+1} \\ e^{-K}=\langle+|V_2|-\rangle=\langle-|V_2|+\rangle & \textrm{if}\ \sigma_i\neq \sigma_{i+1} \end{array}\right.</math> | + | :<math>V_2=\begin{pmatrix}e^K & e^{-K} \\ e^{-K} & e^K \end{pmatrix} = e^K 1+e^{-K}\sigma_x</math> |
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| − | <math>V_2=\begin{pmatrix}e^K & e^{-K} \\ e^{-K} & e^K \end{pmatrix} = e^K 1+e^{-K}\sigma_x</math> | ||
맨 오른쪽의 첫번째 항의 1은 단위행렬을 뜻합니다. V<sub>2</sub>는 다음처럼 다시 쓸 수도 있습니다. | 맨 오른쪽의 첫번째 항의 1은 단위행렬을 뜻합니다. V<sub>2</sub>는 다음처럼 다시 쓸 수도 있습니다. | ||
| − | + | :<math>V_2=A(K)e^{K^*\sigma_x}</math> | |
| − | <math>V_2=A(K)e^{K^*\sigma_x}</math> | ||
A(K)와 K<sup>*</sup>는 모두 K의 함수고요, V<sub>1</sub>처럼 V<sub>2</sub>도 이런 식으로 써줘야 나중에 풀기가 쉬워집니다. 이제 A(K)와 K<sup>*</sup>를 K와 연관짓겠습니다. | A(K)와 K<sup>*</sup>는 모두 K의 함수고요, V<sub>1</sub>처럼 V<sub>2</sub>도 이런 식으로 써줘야 나중에 풀기가 쉬워집니다. 이제 A(K)와 K<sup>*</sup>를 K와 연관짓겠습니다. | ||
| − | + | :<math>A(K)e^{K^*\sigma_x}=A\sum_{j=0}^\infty \frac{K^{*j}}{j!}\sigma_x^j = A\sum_{j=2k}\frac{K^{*j}}{j!}1+A\sum_{j=2k+1}\frac{K^{*j}}{j!}\sigma_x</math> | |
| − | <math>A(K)e^{K^*\sigma_x}=A\sum_{j=0}^\infty \frac{K^{*j}}{j!}\sigma_x^j = A\sum_{j=2k}\frac{K^{*j}}{j!}1+A\sum_{j=2k+1}\frac{K^{*j}}{j!}\sigma_x</math> | ||
즉 지수함수를 그냥 푼 다음에 짝수번째 항들과 홀수번째 항들로 나눕니다. 그리고나서 σ<sub>x</sub>의 제곱은 단위행렬, 즉 1이 된다는 사실을 이용합니다. 위 결과를 처음 V<sub>2</sub>의 정의와 비교합니다. | 즉 지수함수를 그냥 푼 다음에 짝수번째 항들과 홀수번째 항들로 나눕니다. 그리고나서 σ<sub>x</sub>의 제곱은 단위행렬, 즉 1이 된다는 사실을 이용합니다. 위 결과를 처음 V<sub>2</sub>의 정의와 비교합니다. | ||
| − | <math>A\sum_{j=2k}\frac{K^{*j}}{j!}=e^K,\ A\sum_{j=2k+1}\frac{K^{*j}}{j!}=e^{-K}</math> | + | :<math>A\sum_{j=2k}\frac{K^{*j}}{j!}=e^K,\ A\sum_{j=2k+1}\frac{K^{*j}}{j!}=e^{-K}</math> |
이로부터 아래 결과를 얻습니다. | 이로부터 아래 결과를 얻습니다. | ||
| − | <math>A(K)=\sqrt{2\sinh 2K},\ \tanh K^*=e^{-2K}</math> | + | :<math>A(K)=\sqrt{2\sinh 2K},\ \tanh K^*=e^{-2K}</math> |
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| + | ==전달행렬을 통한 분배함수의 표현== | ||
지금까지 얻은 결과를 이용해서 분배함수를 다시 씁니다. | 지금까지 얻은 결과를 이용해서 분배함수를 다시 씁니다. | ||
| + | :<math>Z=\sum_{\{\mu\}}\langle \mu_1|V_1|\mu_2\rangle \langle \mu_2|V_2|\mu_3\rangle \langle \mu_3|V_1|\mu_4\rangle\cdots \langle \mu_{2N}|V_2|\mu_1\rangle = \textrm{Tr} (V_1V_2)^N</math> | ||
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| + | 즉 두 행렬의 곱 V<sub>1</sub>V<sub>2</sub>의 고유값만 알면(이를 각각 λ<sub>1</sub>과 λ<sub>2</sub>로 씁시다) 분배함수를 바로 얻습니다. | ||
| + | :<math>Z=\lambda_1^N+\lambda_2^N</math> | ||
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| + | 여기서 V들을 전달행렬(transfer matrix)이라 부릅니다. 그리고 상호작용하는 N개의 스핀에 관한 문제가 1개의 스핀에 대한 문제로 환원되었음을 보았습니다. 원래 시스템의 스핀은 그 값이 1 또는 -1로 정해져 있다는 의미에서 '고전적 스핀'이고, 환원된 후의 스핀은 파울리 행렬로 표현되는 '양자 스핀'입니다. 1차원 고전 모형이 0차원 양자 모형과 같음을 보인 것이죠. (0차원은 곧 단 1개의 스핀에 대한 문제라는 뜻입니다.) 그래서 일반적으로 d+1차원 고전 모형이 d차원 양자 모형에 대응된다고 말합니다. | ||
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| − | + | ==역사== | |
| + | * 1925 이징에 의해 1차원 이징 모형이 해결 | ||
| + | * 1944 온사거에 의해 2차원 이징 모형 해결 | ||
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[[분류:통계물리]] | [[분류:통계물리]] | ||
2013년 1월 27일 (일) 15:38 판
개요
이징 모형(Ising model)은 평형통계물리에서 다루는 시스템 중 가장 단순하면서도 중요하며, 또한 정확히 풀리는 모형 중 하나입니다. 1차원 이징 모형이 이징에 의해 1925년에 풀렸고, 2차원 이징 모형은 온사거에 의해 1944년에 풀렸으며, 3차원은 아직 풀리지 않았고, 4차원 이상은 평균장 어림으로 풀린다는 게 알려져 있죠. 이외에도 척도 없는 연결망에서 평균장 어림을 이용하여 풀렸습니다.
이 글에서는 제목에 쓴대로 1차원 이징 모형을 풀어보겠습니다. 플리쉬케(Plischke)와 버거슨(Bergersen)이 쓴 <Equilibrium Statistical Physics> 3판의 6장을 참고했습니다.(라고 쓰고 요약했습니다.로 읽는다;;;)
해밀토니안과 분배함수
크기가 N인 1차원 격자의 양 끝이 이어져 있다고 합시다. 이 격자 위의 이징 모형을 나타내는 해밀토니안은 다음과 같습니다. \[H=-J\sum_{i=1}^N\sigma_i\sigma_{i+1}-h\sum_{i=1}^N\sigma_i,\ \sigma_{N+1}=\sigma_1\]
이징 스핀 사이에는 J라는 상호작용이 있고 각 스핀에는 외부 자기장 h가 균일하게 가해지는 것으로 놓았습니다. 분배함수는 다음처럼 씌어집니다. \[Z=\sum_{\{\sigma\}}e^{-\beta H}=\sum_{\{\sigma\}} e^{\beta h\sigma_1}e^{K\sigma_1\sigma_2} e^{\beta h\sigma_2}e^{K\sigma_2\sigma_3}\cdots e^{\beta h\sigma_N}e^{K\sigma_N\sigma_1},\ K=\beta J\]
각 스핀 σ는 1 또는 -1의 값을 갖는데, 이걸 파울리 행렬로 나타내겠습니다. 우선 파울리 행렬은 다음과 같습니다. \[\sigma_x=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix},\ \sigma_y=\begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0\end{pmatrix},\ \sigma_z=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}\]
전달행렬
이제 분배함수의 각 요소를 하나씩 봅니다. 먼저 $\beta h$가 있는 요소를 보면 각 스핀이 1 또는 -1이므로 아래처럼 두 경우밖에 없습니다. \[e^{\beta h\sigma_i}=\left\{ \begin{array}{lã £} e^{\beta h}=\langle+|e^{\beta h\sigma_z}|+\rangle & \textrm{if}\ \sigma_i=1 \\ e^{-\beta h}=\langle-|e^{\beta h\sigma_z}|-\rangle & \textrm{if}\ \sigma_i=-1 \end{array}\right.\]
그 각각을 위의 오른쪽처럼 파울리 행렬 중 z성분으로 나타냅니다. 이때 +와 -는 각각 스핀이 1인 상태, 스핀이 -1인 상태를 나타냅니다. 헷갈릴 수 있는데요, 맨 왼쪽의 σi는 '값'이고 맨 오른쪽의 σz는 '행렬'입니다. 그래서 이 행렬에 + 또는 -로 표현된 상태가 앞뒤로 곱해져야 '값'이 되겠죠. 편의상 σz를 지수로 갖는 부분을 V1로 정의합니다. \[V_1\equiv e^{\beta h\sigma_z}=\begin{pmatrix} e^{\beta h} & 0 \\ 0 & e^{-\beta h} \end{pmatrix},\ \langle+|V_1|-\rangle=\langle-|V_1|+\rangle=0\]
이제 K가 있는 요소를 봅니다. 이 요소의 값은 이웃한 두 스핀 값이 같으냐 다르냐에만 의존합니다. \[e^{K\sigma_i\sigma_{i+1}}=\left\{ \begin{array}{ll} e^{K}=\langle+|V_2|+\rangle=\langle-|V_2|-\rangle & \textrm{if}\ \sigma_i=\sigma_{i+1} \\ e^{-K}=\langle+|V_2|-\rangle=\langle-|V_2|+\rangle & \textrm{if}\ \sigma_i\neq \sigma_{i+1} \end{array}\right.\] \[V_2=\begin{pmatrix}e^K & e^{-K} \\ e^{-K} & e^K \end{pmatrix} = e^K 1+e^{-K}\sigma_x\]
맨 오른쪽의 첫번째 항의 1은 단위행렬을 뜻합니다. V2는 다음처럼 다시 쓸 수도 있습니다. \[V_2=A(K)e^{K^*\sigma_x}\]
A(K)와 K*는 모두 K의 함수고요, V1처럼 V2도 이런 식으로 써줘야 나중에 풀기가 쉬워집니다. 이제 A(K)와 K*를 K와 연관짓겠습니다. \[A(K)e^{K^*\sigma_x}=A\sum_{j=0}^\infty \frac{K^{*j}}{j!}\sigma_x^j = A\sum_{j=2k}\frac{K^{*j}}{j!}1+A\sum_{j=2k+1}\frac{K^{*j}}{j!}\sigma_x\]
즉 지수함수를 그냥 푼 다음에 짝수번째 항들과 홀수번째 항들로 나눕니다. 그리고나서 σx의 제곱은 단위행렬, 즉 1이 된다는 사실을 이용합니다. 위 결과를 처음 V2의 정의와 비교합니다.
\[A\sum_{j=2k}\frac{K^{*j}}{j!}=e^K,\ A\sum_{j=2k+1}\frac{K^{*j}}{j!}=e^{-K}\]
이로부터 아래 결과를 얻습니다.
\[A(K)=\sqrt{2\sinh 2K},\ \tanh K^*=e^{-2K}\]
전달행렬을 통한 분배함수의 표현
지금까지 얻은 결과를 이용해서 분배함수를 다시 씁니다. \[Z=\sum_{\{\mu\}}\langle \mu_1|V_1|\mu_2\rangle \langle \mu_2|V_2|\mu_3\rangle \langle \mu_3|V_1|\mu_4\rangle\cdots \langle \mu_{2N}|V_2|\mu_1\rangle = \textrm{Tr} (V_1V_2)^N\]
즉 두 행렬의 곱 V1V2의 고유값만 알면(이를 각각 λ1과 λ2로 씁시다) 분배함수를 바로 얻습니다. \[Z=\lambda_1^N+\lambda_2^N\]
여기서 V들을 전달행렬(transfer matrix)이라 부릅니다. 그리고 상호작용하는 N개의 스핀에 관한 문제가 1개의 스핀에 대한 문제로 환원되었음을 보았습니다. 원래 시스템의 스핀은 그 값이 1 또는 -1로 정해져 있다는 의미에서 '고전적 스핀'이고, 환원된 후의 스핀은 파울리 행렬로 표현되는 '양자 스핀'입니다. 1차원 고전 모형이 0차원 양자 모형과 같음을 보인 것이죠. (0차원은 곧 단 1개의 스핀에 대한 문제라는 뜻입니다.) 그래서 일반적으로 d+1차원 고전 모형이 d차원 양자 모형에 대응된다고 말합니다.
역사
- 1925 이징에 의해 1차원 이징 모형이 해결
- 1944 온사거에 의해 2차원 이징 모형 해결