곱하기 노이즈와 KPZ 방정식

곱하기 노이즈(multiplicative noise; MN)가 포함된 반응-확산 방정식을 콜-호프 변환(Cole-Hopf transformation)해주면 표면 성장에 관한 카다르-파리시-장 방정식(KPZ equation)이 나옵니다. 예전에 '여러가지 흡수상태의 성질 정리'라는 글에서 언급만 하고 넘어갔는데 오늘은 수식을 따라가보겠습니다.

다음과 같은 반응-확산 방정식을 봅시다.

\(\partial_t\phi(x,t)=-a\phi(x,t)-b\phi^p(x,t)+D\nabla^2\phi(x,t)+\sigma\phi(x,t)\eta(x,t)\)

우변의 첫 두 항은 '반응'에 해당하고 세번째 라플라시안 항은 '확산'입니다. 마지막 항은 곱하기 노이즈이고요. 콜-호프 변환식을 봅시다.

\(\phi(x,t)=\exp[h(x,t)]\)

이걸 위의 방정식에 넣으면, h에 관한 다음 방정식이 나옵니다.

\(\partial_t h(x,t)=-a-be^{(p-1)h}+D\nabla^2 h+D(\nabla h)^2+\sigma\eta(x,t)\)

앞의 a와 b를 가리고 보면, KPZ 방정식이죠. 그리고 b가 붙은 항에 의해 h가 무한정 커질 수 없다는 것도 알 수 있고요.

이 이야기가 제가 지금 고민하는 문제에 실마리를 줄 수도 있어서 써봅니다. 냐옹.