"실해석적 아이젠슈타인 급수"의 두 판 사이의 차이

2013년 2월 2일 (토) 13:58 판

개요

정의

\[E(\tau,s) =\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}},\quad \tau = x + iy,\quad y > 0\]

복소 타원 곡선의 스펙트럼 제타 함수

해석적 확장

$s>1$에서 급수가 수렴하며, 전체 복소 평면으로 확장되며, $s=1$에서만 단순 폴을 가진다

크로네커 극한 공식

크로네커 극한 공식

\[E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi\left(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)\right) +O(s-1)\] 여기서 $\gamma$ 는 오일러상수, 감마, $\eta(\tau)$는 데데킨트 에타함수

함수방정식

$\xi(\tau,s) = \pi^{-s}\Gamma(s)E(\tau,s)$로 두면, 다음을 만족한다

$$ \xi(\tau,s)=\xi(\tau,1-s) $$

마스 형식(Maass form)

푸앵카레 상반평면 모델에서의 라플라시안

$\Delta=y^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)$

라플라시안 $\Delta$의 고유벡터

\[\Delta E(z,s)=s(s-1)E(z,s)\]

실해석적 아이젠슈타인 급수는 마스 형식의 예이다

수학용어번역

analytic - 대한수학회 수학용어집

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 \xi(\tau,s)=\xi(\tau,1-s)
 $$
+==마스 형식(Maass form)==
+* [[푸앵카레 상반평면 모델]]에서의 라플라시안
+:$\Delta=y^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)$
+* 라플라시안 $\Delta$의 고유벡터
+:<math>\Delta E(z,s)=s(s-1)E(z,s)</math>
+* 실해석적 아이젠슈타인 급수는 마스 형식의 예이다